Механические колебания. Уравнение гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний

,

где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ - соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза; - фаза колебаний в момент t.

Угловая частота колебаний

, или ,

где ν и Т - частота и период колебаний.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник)

,

где m - масса тела; k -жесткость пружины.

Период колебаний математического маятника

,

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

,

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Уравнение затухающих колебаний

,

где А(t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω – их круговая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

,

где δ – коэффициент затухания.

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

,

где А ₀ - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент затухания

.

Амплитуда вынужденных колебаний

,

где F₀ - амплитудное значение вынуждающей силы.

Резонансная частота и резонансная амплитуда вынужденных колебаний

и .