Системы линейных алгебраических уравнений. Тема:Решение СЛАУ по формулам Крамера и методом Гаусса.

Лабораторная работа 1

Тема: Решение СЛАУ по формулам Крамера и методом Гаусса.

Цель: оказание студентам помощи в овладении навыками решения задач, отражающих тематику данной лабораторной работы; научить студентов решать СЛАУ.

Теоретическое обоснование

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

(1)

где () – произвольные числа называющиеся коэффициентами при переменных, а – свободными членами уравнений.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной.

Решением системы называется такая совокупность чисел , , …, , при подстановке которых данное уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

Совместная система называется определённой, если она имеет един­ственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквива­лентными, если они имеют одно и тоже множество решений. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система равносильная данной.

Теорема (Кронекера - Капелли):

Для того чтобы система (1) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных была совместна (имела решение), необходи­мо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы (А) системы и ранг

расширенной матрицы (А, В) системы (1) были равны, т. е. .

Рангом матрицы (обозначается или ) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля.