Алгоритм нахождения решения по методу Гаусса

1) Полагая, что в расширенной матрице системы коэффициент (если это не так, то следует на первое место поставить строку с отличным от нуля коэффициентом при ), преобразуем матрицу следующим образом: первую строку оставляем без изменения, а из всех остальных строк исключаем неизвестную с помощью эквивалентных преобразований.

2) В полученной матрице, считая, что (что всегда можно получить, переставив строки), оставляем без изменений первые две строки, а из остальных строк расширенной матрицы, используя вторую строку, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную .

3) Во вновь полученной матрице, при условии оставляем без изменений первые три строки, а из всех остальных с помощью третьей строки элементарными преобразованиями исключаем неизвестную .

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к ступенчатой матрице соответствующей системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределена.

Если матрицу размера можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу назовем трапециевидной или трапецеидальной.

Матрица – трапециевидная матрица.