Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Проведенные элементарные преобразования:

1) поскольку в первой матрице элемент , то первую строку оставим без изменений;

2) вместо второй строки запишем ее сумму с первой, умноженной на (-4);

3) вместо третьей строки запишем ее сумму с первой строкой, умноженной на (-3);

4) вместо четвертой строки запишем ее сумму с первой строкой, умноженной на (-5).

Полученная новая матрица эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при (это и являлось целью преобразований 1 – 4).

Преобразуем полученную матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент ;

2) вместо третьей строки запишем сумму второй строкой и третьей, умноженной на (-2);

3) четвертую строку заменим суммой удвоенной второй строкой и умноженной на (-5) четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестное исключено из всех уравнений, кроме первого, а неизвестное – из всех уравнений кроме первого и второго:

Далее исключаем неизвестную из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как ;

2) четвертую строку заменим суммой третьей, умноженной на (-39), и четвертой.

Полученная ступенчатая матрица соответствует системе уравнений:

Из последнего уравнения этой системы получаем . Подставив это значение в третье уравнение, получим . Из второго уравнения следует, что , а из первого – . Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение , затем и т. д.).