Нормальный закон и центральная предельная теорема

Получилось так, что теорема Кардано– Бернулли, чуждая какой-либо случайности, явилась первой предельной теоремой ТВ. Она показала на одном примере, что вместо случайной величины можно рассматривать ее среднее значение. Дальнейшее движение мысли приняло два направления – усиление самого ЗБЧ и поиск более сильного, чем он, утверждения относительно свойств случайных величин. Первое привело к теоремам, показавшим, что для сходимости достаточно существование дисперсии, т.е. чтобы разброс случайной величины не был слишком велик.

Второе направление привело к открытию нормального распределения, которым можно пользоваться вместо очень широкого класса распределений случайных величин. Здесь главную роль играет предельная теорема, которая утверждает, что очень широкий класс сумм случайных величин сходится к нормальному. Это – центральная предельная теорема (ЦПТ). Первый шаг к этой теореме сделал Абрахам де Муаврв 1733 г., первый частный ее случай нашел Лапласв 1809 г. (теорема Муавра– Лапласа, гласщая, что распределение частот в серии испытаний Бернуллиможно приближенно представить нормальным распределением), в качестве центрального положения ТВ она была осознана после публикации работы Чебышева(1886 г.), а самые общие ее формы найдены лишь в середине ХХ века. Подробнее см. [Чайковский, в подготовке].

Первый шаг Муаврасостоял в нахождении наибольшего члена бинома и оценки отклонения от него, т.е. он следовал за тем доказательством ЗБЧ, какое дал Бернулли. И интерпретацию дал тоже по Бернулли, заменив лишь " рок" на " первичный план": " Хотя Случай порождает беспорядочности, но когда число опытов неограниченно велико, то с течением Времени эти беспорядочности станут несравнимы с повторностью, естественно следующей из ПЕРВИЧНОГО ПЛАНА". Это обстоятельство было для него столь же важным, как закон инерции, и вместе они, по Муавру, говорят " о мудрости и благости божией" [Adams, 1974, c. 26–27].

Нормальный закон первоначально был понимаем как закон распределения ошибок измерений, т.е. закон отклонений измеряемой величины от ее истинного значения. Историю вопроса прекрасно исследовал Вильям Адамс[Adams, 1974], и ключевые для нас пункты его работы будут воспроизведены мной в другом месте [Чайковский, в подготовке]. Поэтому здесь надо сделать лишь одно замечание: идеология исчисления ошибок повлияла на идеологию ТВ самым решительным образом, порою приводя к отождествлению всех случайностей мира с одной-единственной – той, что вызвана ошибками опыта, и этот перекос виден до сих пор. О влиянии идеологий на работу ученых мы будем специально говорить в главе 5.

Путь к анализу ошибок был начат в 1755 г., когда Томас Симпсонпоставил казалось бы наивный вопрос: почему среднее арифметическое оказывается ближе к истине, чем отдельное наблюдение? [Adams, 1974, c. 34]. Первый вариант ответа был получен уже через полвека (о чем скажу ниже), но осознан гораздо позже.

Понимание исключительной роли нормального закона пришло нескоро. В 1781 г. молодой Лапласразвил анализ ошибок, начатый Даниэлем Бернулли(племянником Якоба), но оба они описывали распределение ошибок странными для нас функциями – например, Бернуллипользовался полукруглой:

f(x) =

[Adams, 1974, c. 38]. Лишь в 1809 г. Карл Гаусссмог высказать и обосновать (нестрого) фундаментальное интуитивное соображение: если допустить, что равные по абсолютной величине ошибки равновероятны (снова, заметим, аксиома равновозможности), то наиболее вероятно, что плотность распределения ошибок выразится функцией ехр(–x²). Эту кривую теперь называют гауссоидой, а идею Гаусса– методом наибольшего правдоподобия. Мы вернемся к ней в главе 4.

ЦПТ почти во всех ее вариантах является интегральной предельной теоремой, т.е. утверждает сближение функций распределения, а это не всегда гарантирует сходство их плотностей, каковое обычно и интересует прикладников. Теорема Муавра– Лапласаимеет как интегральную, так и локальную формы(*), но для многих предельных теорем это не так. Тем не менее, даже интегральная ее форма достаточна для первого ответа на вопрос Симпсона, к чему мы сейчас и обратимся.