Реализационная симметрия и равновозможность

В главе 3 мы видели, что ЗБЧ гласит: в массовых процессах частота мало отклоняется от своей средней величины, которую именуют вероятностью. Понятие вероятности при этом вводится на основе идеи равновозможности (а вовсе не как предел частоты). Известное утверждение о том, что ЗБЧ связывает формальную ТВ со статистикой, ни на чем математическом не основано. Принципиально то, что равновозможность работает не только там, где есть что-то симметричное по форме, но всюду, где присутствует нечто неизменно сохраняющееся от опыта к опыту, что можно (пусть приближенно) разбить на равные " клеточки", т.е. измерить.

Чтобы разбить объект " на равные клеточки", надо найти в нем какую-то симметрию. Аксиома равновозможности как раз и есть утверждение симметрии случайного акта в качестве его исходного качества. В предыдущих главах эта симметрия именовалась (для облегчения восприятия читателями разных специальностей и интересов) исчерпанием равновозможностей, а теперь пора дать ей более точное название – реализационная симметрия, чтобы подчеркнуть и ее основное качество (каждый вариант берется один раз), и симметрийный характер этого качества.

Хотя ТВ родилась в игровых задачах, но неигровые задачи допускают такое же измерение частот, как игровые. Тем самым, и тут использована равновозможность – а именно, равновозможность воображаемых элементарных исходов (см. конец п. 3-2). Тот факт, что каждый элементарный исход берется в расчетах ровно один раз, и есть реализационная симметрия. Исходы, для которых она имеет место, называются микросостояниями [Криндач, 1978]. Элементарная равновозможность работает в очень широких пределах, она – не редкий частный случай (как пишут в учебниках), а единица измерения, нечто вроде наибольшего общего делителя. Например, как сказано в главе 3, соотношение полов надо понимать так: при зачатии как бы бросается 27-гранная симметричная кость, на которой 14 граней (элементарных равновозможных исходов) соответствуют мальчику и 13 – девочке. Здесь имеется 27 микросостояний и 2 макросостояния (наблюдаемых исхода).

Можно сказать, что обычно элементарные равновозможности являются скрытыми. В частности, Чендов[1974, c. 134-135], кроме примера с мальчиками и девочками, привел пример этого факта из квантовой физики.

Парадоксально: простая мысль о скрытых состояниях, неявно, но определенно содержащаяся у Я. Бернулли, еще сто лет назад никому не приходила в голову, и даже самые светлые умы (например, Анри Пуанкаре) видели в идее равновозможности только порочный круг: равновозможность есть равновероятность, следовательно любая вероятность якобы определяется через неопределяемую вероятность. Впоследствии методологи сделали попытки увязать вероятность с симметрией [Криндач, 1978; Бирюков и др., 1982, с. 12], но успеха у математиков не имели, и до сих пор в самом солидном руководстве можно прочесть, что симметрия – нечто внешнее и частное: " Понятие равновозможности может быть применено при физической симметрии объекта" (имеется в виду геометрическая), а также " при простой случайной выборке из конечной популяции", однако " стоит нам принять элементарные исходы не равновозможными, как мы должны изменить определение вероятности" [Kendall, 1987, c. 258, 261], т.е. сменить априорное определение на статистическое.

Откровенность редкая, но суть дела типична: элементарными названы наглядные, сразу видимые исходы. Авторы солидного руководства не заметили, что у классиков элементарными являются совсем не те объекты. И у Бернулли, и у Колмогороваэлементарными являются микросостояния, т.е. объекты реализационной симметрии – это грани t-гранной кости у первого и точки отрезка [0, 1] у второго. Без этого факта формулы ТВ не имели бы смысла за рамками азартных игр.

Следующее, что надо понять – что независимость тоже является своеобразной симметрией. Здесь уместно снова привести вывод методологов: " Мы на самом деле не знаем, что такое независимость, но чем бы она ни была, если она имеет смысл, то она должна обладать следующими свойствами" (далее формулируется перемножение вероятностей) [Кац, Улам, 1971, с. 72]. Для схемы доказательства теоремы, изложенной в п. 3-3, можно еще добавить, что независимость – это равновозможность серий (раскладок), или, что то же, их реализационная симметрия.

Перефразируя фразу методологов, скажу так: мы на самом деле не знаем, что такое равновозможность, но чем бы она ни была, ею должны обладать выпадения граней симметричной кости. (Пусть это далеко от аккуратного математического утверждения, но, по-моему, достаточно, чтобы снять упрек в порочном круге: равновозможность – свойство микросостояния, одно из неопределяемых понятий, какие лежат в основе любой математической теории.) Согласно Бернулли, некий аналог такой кости имеется всюду, где есть многократно повторяемая случайность; в наше время следует уточнить: не всюду, а там, где имеет смысл сам ЗБЧ.

О том, где он смысла не имеет, мы поговорим ниже (п. 7), а пока выясним, как ЗБЧ действует.