Независимость без случайности

Почему же все комментаторы дружно видят в теореме Бернуллинезависимые испытания, которых там нет? Дело в том, что идея независимости лежит в основе нынешней ТВ, фактически заменяя в ней отсутствующую идею случайности. Как писал в 1933 г. Колмогоров, без понятия независимости ТВ осталась бы просто частью теории меры и не могла бы " доставить никакого базиса для развития большой оригинальной теории". Независимость он ввел просто – отказавшись обсуждать философский смысл явления(*), он дал определение: испытания называются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих испытаний [Колмогоров, 1998, c. 10–12].

Если так, то у Бернуллинадо было найти только одно – подходящие произведения. И они, естественно, нашлись. Его теорема доказана не для случайных бросаний, а для методичных раскладок, но если разделить обе части равенства (2) на t^N, то получится очевидное равенство: сумма вероятностей всех возможных раскладок равна 1, если положить, что каждое произведение вида

r^N—ks^k

есть вероятность раскладки, в которой k костей легло на незакрашенные грани, а (N–k) – на закрашенные. Если же вероятность совместного наступления событий выражается через произведение этих событий, то события, как мы видели, называются независимыми.

(Замечание для математиков: правило перемножения вероятностей свидетельствует вовсе не о физической (или, шире, онтологической) независимости событий, а о выполнении некоторого свойства ортогональности для множества функций, именуемых случайными величинами. Об этом мимоходом писал Алимов[1980, c. 32]: " С математической стороны, теорема Бернуллии другие формы ЗБЧ... представляют собой не что иное, как теоремы об ортогональных функциях". Данным свойством, в частности, обладает полное множество раскладок, не содержащее никакой случайности, и это совпадение позволило видеть в чисто комбинаторной теореме Бернуллипервый вариант ЗБЧ.)

Итак, независимость испытаний – лишь одна из интерпретаций " золотой теоремы", случайностная интерпретация неслучайной процедуры. " Мы на самом деле не знаем, что такое независимость, но чем бы она ни была, если она имеет смысл, она должна обладать следующими свойствами" – записали двое методологов и тут же повторили колмогоровское определение независимости [Кац, Улам, 1971, c. 72]. Это верно, но следовало бы добавить: отнюдь не всякая совокупность событий, обладающая этим свойством, являет независимость в обычном понимании. То есть налицо достаточность, а необходимости нет. Мы вернемся к этому вопросу в главе 6, когда пойдет речь о роли независимости в теории динамического хаоса.

Я уже приводил фразу: " И что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно вывести a posteriori, т.е. из многократного наблюдения". Оптимизм Бернуллистранен с нашей нынешней позиции (вероятность по выборке не восстанавливается, ибо частота к вероятности не сходится – на этом обжегся Мизес). Но оптимизм вполне естествен с позиции реализации " всех форм" Кардано: если та " многогранная кость", о которой мы выше вели речь, действительно существует, то рано или поздно конкретное число " раскладок" укажет на нее с любой наперед заданной точностью; и, что не менее важно, дальнейшее удлинение раскладок не отклонится от ранее найденного r/s (чего не скажешь о частотах при реальных бросаниях).

Поэтому и саму " золотую теорему" можно условно назвать теоремой Кардано – Бернулли. Случайность в ней не столько описана, сколько обойдена, отчего и возникла потребность в интерпретациях, спор о которых не затих до сих пор. Это важно помнить потому, что общепринятая схема Колмогороваразвила именно схему Бернулли, которая, как видим, была чисто детерминистической.

Точнее, у Бернуллибином Ньютонаявлял собою всего лишь форму записи всех подмножеств множества элементарных событий. В системе понятий, где число событий несчетно, аналогичное множество строится сложнее (но в принципе так же) и именуется борелевским полем событий, или сигма-алгеброй. В схеме Бореля– Колмогорова, как и у Бернулли, каждое элементарное событие взято ровно один раз т.е. случайность вновь не столько описана, сколько обойдена. Обеим вероятностям (Р и р) в формуле (1) теперь приписан один и тот же статус – обе понимаются как меры. Эту унификацию математики восприняли как успех в понимании вероятности, хотя, на мой взгляд, его тут не было, а была лишь спутана частота со степенью уверенности.