Тенденция при падении монеты

В 1970 г. английский математик Питер Уиттлписал в своем учебнике (в методическом плане он нравится мне больше других): " Очевидно, здесь (бросая монету – Ю.Ч.) мы не имеем дела с пределом в обычном математическом смысле, так как нельзя гарантировать, начиная с некоторого достаточно большого n, что флуктуации p(n) будут меньше некоторого фиксированного уровня", хотя частота и проявляет " тенденцию стремиться к некоторому предельному значению". Он прямо поставил вопрос, можно ли тут в принципе " избавиться от разнообразия", т.е. получить предел, и честно признал: " Этот философский вопрос лежит в основе детерминизма, но если он разрешим вообще, то не в простых терминах. В теории вероятностей мы исходим из той предпосылки, что существует определенное разнообразие, которое мы не можем объяснить, но должны принять" [Уиттл, 1982, c. 10, 12]. Ныне, спустя 30 лет, полного объяснения все еще нет, но кое-что объяснить уже можно.

Опыт действительно говорит об устойчивости частот, но он не говорит о пределе. Есть ли какой-то конкретный предел у частоты, из опыта не узнать. Попытки показать сходимость частоты к вероятности путем многотысячных бросаний монеты привели к невразумительным результатам: внешне симметричная монета падала на одну из сторон с частотой около 0, 5005-0, 5077 [Майстров, 1980, c. 98]. Существенно, что последний результат, демонстрирующий наибольшее отклонение от 1/2, получен для самой длинной серии испытаний (более 80 тыс бросаний). Значит ли это, что следует искать в монетах, служивших для подобных опытов, незаметную неправильность формы или же монеты симметричны, а уклонения случайны?

Типичный ответ таков: «предположение о равновозможности герба и решки... кажется вполне удовлетворительным, однако... вполне возможен вывод, что выпадение герба и решки в отдельных случаях не одинаково вероятно» [Колмогорови др., 1982, c. 28]. Он столь же невразумителен. Попробуем разобраться.

Сто лет назад Карл Пирсон, бросив монету 24 тыс. раз, в самом деле получил частоту герба, очень близкую к 1/2, а именно, 0, 5005 (ошибка 0, 1 %). Его упрекали в подтасовке, но, быть может, ему досталась самая симметричная монета? Или ему просто повезло?

Увы, дело проще: Пирсонпростодушно прекратил опыт в тот момент, когда частота максимально приблизилась к 1/2. Вот как изложил дело Тутубалин: " Пирсонреабилитирован... на самом деле было так: сначала Пирсонбросил монету 6000 раз, но результат ему не понравился. Тогда он бросил ее еще 6000 раз и опять не понравилось. Пришлось бросить монету еще 12000 раз, и результат (всех бросаний) оказался замечательным" [Тутубалин, 1992, c. 119].

Добавлю: если бы Пирсонбросил монету еще столько же раз, итог был бы почти наверняка много дальше от 1/2 (на то есть известный " закон арксинуса" [Феллер, 1984, c. 470], которого Пирсонеще не знал), так что уместен вопрос: что же именно мерил Пирсони чему так рад Тутубалин? Ведь очевидно, что " замечательный результат" – вовсе не предел частоты, а специально подобранное (путем выбора момента окончания опыта) число. Если результат " замечателен" тем, что очень близок к 1/2, т.е. к априорной вероятности для симметричной монеты, то замечу, что монета Пирсона вовсе не была симметрична – у нее на одной стороне выдавлен герб, а на другой цифра.

Как раз для «идеальной монеты» (компьютерная серия независимых испытаний) получается вовсе не такой " замечательный" результат: [Феллер, 1964, c. 32]: при 10 тыс. испытаний ошибка составляет 0, 4 % и не проявляет, после первой тысячи, единой тенденции к снижению. Зато, выбирая для окончания опыта нужную тысячу испытаний, можно извлечь из таблицы Феллераеще лучший результат, чем у Пирсона: 0, 5001 по первым восьми тысячам. Однако Феллерделать этого не стал, причем был прав – точное совпадение частоты с 1/2 (иными словами, возврат в начальную точку при случайном блуждании на прямой) достигается и при слегка несимметричной монете.

Вариацией момента окончания опыта с симметричной монетой можно получить отнюдь не любую частоту, а лишь число, близкое к 1/2. Это значит, что есть некоторая небольшая финальная область, из которой Пирсони мог выбрать свой " замечательный" результат. Финальными областями мы займемся в главе 6.