Место нормального закона

Пора отметить, что и ЦПТ, и вся идеология суммирования независимых случайных величин лишь иллюстрируют важную роль гауссоиды, но вряд ли могут служить обоснованием этой роли. Советские учебники ТВ дружно иллюстрировали свои положения разбросом попаданий при стрельбе в цель, и вряд ли это было лучше, чем прежняя установка Гаусса– Пуанкаре, видевшая главным примером случайного события совокупность ошибок измерений. Есть ли у ТВ что-то более общее?

Принято считать, что это общее состоит в способе формирования случайности: как ошибка при измерении или стрельбе складывается из большого числа малых влияний (откуда и следует, якобы, нормальный закон), так и прочие случайные явления складываются из незаметных влияний. Делается, например, такое обобщение: " Встречающиеся на практике случайные величины во многих ситуациях возникают как следствие большого числа малых неконтролируемых влияний"; и хотя " наблюдаемая величина Х может формироваться довольно сложным путем как результат этих по отдельности малых воздействий", но из-за их малости " суммарное воздействие в первом приближении можно считать линейной функцией" [Золотарев, 1984, c. 19].

На мой вопрос – почему разнородные влияния именно суммируются и почему порядок малости их взаимосвязи более высок, чем сами влияния, один сторонник вышеприведенной позиции ответил, что иначе бы нормальный закон не был распространен столь широко; и тут же с улыбкой признал тут порочный круг(*). Однако в большинстве практических задач ни малость и линейность влияний, ни их суммируемость ничем не обоснованы, и А.А. Марков(старший) еще в 1898 г. писал, что " представление ошибки в виде суммы многих независимых ошибок следует отнести, как я полагаю, к области фантазии" [Марков, 1951, c. 248]. Тем более фантастичным представляется такой подход вне теории ошибок.

Для понимания сути и места нормального закона нужна более общая основа. Можно думать, что широкое распространение гауссоиды и близких к ней плотностей среди явлений природы связано с тем, что она служит предельной формой не только для сумм, но и для других функций многих случайных величин. Такое предположение, насколько знаю, почти не исследовано (см., впрочем, туманную ссылку на работы М. Фреше[Леви, 1972, c. 163]), и остается исходить из успехов в анализе суммирования.

В 1954 году В.П. Скитовичдоказал, что если случайные величины независимы и независимы их линейные комбинации (со сплошь ненулевыми коэфициентами), то эти величины распределены нормально [Феллер, 1984, c. 98]. Данный результат наводит на ту мысль, что вообще следует ожидать тесной связи нормальности и независимости и, следовательно, искать скрытую зависимость между случайностями всюду, где налицо резкое отличие наблюдаемых распределений от нормальных. Этим мы займемся в части 2, но прежде надо понять, как устроена простейшая случайность.