После несложных преобразований выражение для H можно привести к виду

(25)

Еще раз отметим, что все величины в правых частях полученных соотношений (23), (25) берутся в момент времени t₁ (который обычно обозначают через t ¢).

Из выражения (25) вытекает, что магнитное поле движущегося заряда перпендикулярно к электрическому полю.

В выражении для электрического поля (23) первый член зависит только от скорости частицы и на больших расстояниях изменяется как 1/ R ². Второй же член не зависит от скорости частицы, а зависит от ее ускорения, причем на больших расстояниях этот член изменяется как 1/ R. Поэтому второе слагаемое определяет поле излучения электрического заряда, движущегося с ускорением. Это поле создает конечный поток энергии через замкнутую поверхность сколь угодно большого радиуса, окружающую частицу.

3. Заряд e движется с малой скоростью v и с ускорением в ограниченной области. Найти электромагнитное поле на больших расстояниях от области движения заряда (в так называемой волновой зоне).

Решение. Первым малым параметром в данной задаче является величина v/c. Поэтому первоначально необходимо определить приближенное выражение для E при малых v/c. Характерный множитель

при малых v/c принимает вид

(26)

Используя (26), приводим (23) к виду

(27)

Как и ранее, в правой части (27) все величины берутся в момент времени t₁= t ¢. Далее, используя (27), находим из (25)

(28)

Применяя правило «бац минус цаб», определяем

(29)

Теперь, подставляя (29) в (28), получаем

(30)

Все величины в правой части (30) также берутся в момент времени t₁= t ¢. На больших расстояниях от заряда (в волновой зоне) преобладают последние слагаемые в формулах (27), (30), убывающие по закону 1/ R. Поэтому на больших расстояниях от заряда находим

(31)

(32)

В формулах (31), (32) введено обозначение

(33)

Поля (31), (32) определяют электромагнитное излучение заряда.

4. Определить интенсивность излучения, создаваемого движущимся точечным зарядом.

Решение. Интенсивность излучения dI в телесный угол d W определяют как количество энергии, которая протекает в единицу времени через элемент сферической поверхности d S= R ² d W с радиусом R. Это количество энергии равно

(34)

На больших расстояниях от заряда электромагнитное поле в малых участках пространства можно рассматривать как плоскую волну. Для плоской волны имеем

(35)

Подставляя последнее выражение (35) в (34), получим

(36)

Используя формулу (32), находим

(37)

В (37) были использованы свойство смешанного произведения и правило «бац минус цаб». Подставляя (37) в (36), получим

(38)

Обозначим через q угол между n и . Тогда выражение (38) принимает вид

(39)

Интегрируя данное выражение по d q, находим окончательно следующее выражение для интенсивности излучения:

(40)

5. Определить интенсивность излучения, создаваемого системой движущихся зарядов.

Решение. Выберем начало координат О внутри системы зарядов. Обозначим через R ₀ радиус-вектор из О в точку наблюдения Р, в которой определяется поле. Радиус-вектор элемента заряда de =r dV обозначим через r. Тогда радиус-вектор R от de в точку Р будет определяться по формуле

R=R ₀– r. (41)

На больших расстояниях от системы (R ₀> > ) имеем

(42)

Здесь

(43)

определяет единичный вектор в направлении R ₀. Подставим (42) в формулы для запаздывающих потенциалов. Находим

(44)

(45)

При записи данных формул произведено переобозначение переменных, по которым производится интегрирование. В знаменателе подынтегральных выражений мы пренебрегли малой величиной rn по сравнению с величиной R ₀ и вынесли постоянную (при интегрировании) величину R ₀ за знак интеграла.

Отметим, что временем rn / c в подынтегральных выражениях (44), (45) можно пренебречь, если за это время распределение зарядов системы изменяется незначительно.

Пусть a - характерный размер системы, а T - характерное время (время, в течение которого происходит существенное изменение распределения зарядов). Излучение такой системы будет обладать периодом порядка T и характерной длиной волны порядка cT. Временем rn / c ~ a/c можно, очевидно, пренебречь, если a/c < < T (или a < < l). Так как T ~ a/v (v - характерная скорость движения зарядов), то это условие можно записать в виде

v < < c. (46)

Итак, если выполнено условие (46), то выражения (44), (45) принимают вид

(47)

(48)

В формулах (47), (48) время уже не зависит от переменных интегрирования, что значительно облегчает последующее рассмотрение.

При рассмотрении системы точечных зарядов для плотности тока имеем следующее выражение:

(49)

Подставляя (49) в (48) и используя свойство d-функции Дирака, получим

(50)

Здесь суммирование производится по всем зарядам системы, а скорости берутся в момент времени t ¢. Далее, очевидно, имеем

(51)

На больших расстояниях от системы (в волновой зоне) электромагнитное поле можно рассматривать в малых областях как плоскую волну.

Найдем формулу, связывающую H и A в плоской волне, бегущей в положительном направлении оси x. В такой волне A является функцией только от t – x/c. Используя формулу векторного анализа для ротора сложной функции

определяем

(52)

Отсюда получаем

(53)

В формулах (52), (53) точка обозначает дифференцирование по t – x/c (или, что то же самое, по t), единичный вектор n =Ñ x задает направление распространения волны.

Используя (53), получаем

(54)

Подставляя выражение для A (формула (51)) в (54), определяем следующие выражения для магнитного и электрического поля

(55)

(56)

Соотношения (55), (56) аналогичны формулам (32), (31) для поля одного электрического заряда на больших расстояниях. Формулы (55), (56) получаются из (32), (31) при замене в них e v на . Поэтому выражение для интенсивности излучения может быть записано сразу без проведения дополнительных вычислений. Для этого необходимо в формуле (40) заменить e v на . Находим

(57)

В данном приближении излучение определяется второй производной от дипольного момента системы зарядов. Такое излучение называется дипольным. В тех случаях, когда дипольный момент равен нулю, необходимо учесть следующие члены разложения векторного потенциала по степеням малого параметра a/ l.

6. Элементарный электрический диполь может быть реализован, например, в виде короткого отрезка провода (длина провода много меньше длины волны), возбуждаемого переменным током. Такой отрезок провода является простейшей излучающей антенной. Для наглядности будем считать, что диполь представляет собой две одинаковые проводящие сферы, соединенные проводником длиной l. В данной системе возбуждаются электрические колебания. При этом заряды на сферах + q и – q изменяются по закону q = q ₀cosw t. Определить распределение интенсивности излучения и среднюю по времени (результирующую) интенсивность.

Решение. Ориентируем диполь вдоль оси Z. Используя формулы (55), (56), получим в волновой зоне

(58)

Как видно из формулы (58), электромагнитное поле представляет собой сферическую волну. Излучение максимально при J=p/2 (в экваториальной плоскости). Согласно условию задачи дипольный момент системы определяется по формуле

p = q ₀ l cosw t º p ₀ l cosw t   (p = q ₀ l) (59)

Используя формулу (57), получим

(60)

Учитывая, что среднее по времени от величины cos²w(t – R ₀ /c) равно, очевидно, 1/2, получим следующее выражение для средней по времени интенсивности излучения:

(61)

Определим теперь излучение простейшей антенны, в которой ток возбуждения определяется по формуле

(62)

Из формулы (62) имеем

(63)

Подставив (63) в (61), получим

(64)

7. Объяснить, почему для радиовещания необходимо пользоваться сравнительно коротким электромагнитными волнами.

Решение. Как вытекает из полученных выше формул, интенсивность излучения сильно убывает с ростом длины волны. Поэтому излучающие антенны питаются токами высокой частоты (обычно используют частоты, лежащие в пределах от 10^-5 до 10⁸ Гц (им соответствуют длины волн в диапазоне от 3 метров до 3 километров)). Когда необходима острая направленность излучения, применяют сантиметровые и дециметровые волны. Отметим, что в сильноточной технике часто используют токи с частотами, лежащими в диапазоне от 10² до 10³ Гц. Излучение таких токов может быть незначительным, даже в случаях больших амплитуд токов.

8. Солнечный свет в атмосфере рассеивается молекулами воздуха. Молекулы воздуха могут рассматриваться как элементарные осцилляторы, период собственных колебаний которых значительно отличается от периода видимого света. Эти осцилляторы под действием света совершают вынужденные колебания. Объяснить голубой цвет неба.

Решение. Так как период собственных колебаний таких элементарных осцилляторов значительно отличается от периода видимого света, то следует ожидать отсутствия резонанса при воздействии световых электромагнитных волн на молекулы воздуха. Поэтому амплитуда вынужденных колебаний осцилляторов будет слабо зависеть от длины световой волны. С другой стороны, согласно формуле (61), средняя по времени интенсивность вынужденного излучения осцилляторов обратно пропорциональна l⁴. По этой причине интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна l⁴. Поэтому синий (коротковолновый) свет рассеивается сильнее, чем, например, красный. Данный эффект и обусловливает голубой цвет неба.

9. В радиотехнике принято характеризовать потерю энергии антенны на излучение «сопротивлением излучения» антенны R _l (величину R _l называют еще «эквивалентным сопротивлением» антенны). Эта величина определяется из соотношения

(65)

В формуле (65) в правой части величина представляет собой среднее по времени от квадрата силы тока в антенне.

Решение. Имеем

(66)

В формуле (66) угловые скобки также обозначают усреднение по времени. Используя соотношения (64) и (66), находим

(67)

Сопоставляя формулы (65) и (67), получим

(68)

В системе СИ соотношение (68) принимает вид

Ом. (69)