Теперь результат интегрирования (3) становится очевидным

(9)

Сопоставляя исходные выражения для j(r, t) и, например, A_x (r, t), можно записать формулу для компоненты потенциала A_x (r, t) поля, создаваемого движущимся точечным зарядом. Наконец, для векторного потенциала, создаваемого движущимся точечным зарядом, имеем

(10)

Все величины в правых частях (9), (10) должны быть взяты в момент времени t₁, который определяется из соотношения (5) (потенциалы поля в виде (9), (10) называют потенциалами Лиенара-Вихерта).

2. Определить напряженность электрического и магнитного полей, создаваемых точечным зарядом, движущимся по заданной траектории r = r ₀(t).

Решение. Напряженности вычисляются по полученным выше формулам, связывающим поля и потенциалы

(11)

Отметим, что дифференцирование в формулах (11) производится по координатам x, y, z точки наблюдения (r =(x, y, z)) и по моменту времени наблюдения t. С другой стороны, все величины в правых частях (9), (10) взяты в момент времени t₁. Данное обстоятельство необходимо учитывать при дифференцировании. Получим для этого необходимые вспомогательные формулы.

Нам понадобится, в частности, производная . Последовательно имеем

(12)

Здесь введено удобное обозначение

(13)

Отметим, что v (t₁) зависит от x, y, z, t только неявно (t₁=t₁(x, y, z, t)), а s зависит от t₁ и еще явно зависит от x, y, z.

Определим теперь Ñ t₁. Имеем

(14)

Далее, находим

(15)

Из соотношения (15) определяем

(16)

Полученные вспомогательные формула (16) и последняя формула (12) облегчают вычисление производных, входящих в соотношения (11). Находим

(17)

Здесь

Соотношение (17) можно переписать в виде

(18)

Далее определим выражение для Ñ j. Имеем

(19)

Используя формулы (18), (19), находим

(20)

Преобразуем полученное выражение. Имеем

(21)

Рассмотрим выражение

(22)

Видно, что вторая группа слагаемых в правой части (20) совпадает с двойным векторным произведением в формуле (22). Используя (13), (21), (22), получим окончательное выражение для напряженности электрического поля

(23)

Выражение для напряженности магнитного поля находится с помощью следующей формулы:

(24)