Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Запаздывающие потенциалы






Найдем способ решения уравнений Максвелла. Для простоты будем считать, что величины e и m всюду одинаковы, а поверхностных токов и поверхностных зарядов в поле нет. Обобщим понятия скалярного и векторного потенциалов на случай переменных полей.

Для случая переменных полей следует, вероятно, сохранить определение векторного потенциала

B = rotA. (1)

Действительно, в случае переменных полей по-прежнему при использовании потенциала A, связанного с величиной B по формуле (1), будет автоматически выполняться уравнение Максвелла div B =0. Далее, используя закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме, последовательно находим

(2)

(3)

Так как ротор градиента скаляра тождественно равен нулю, то уравнение (3) будет выполнено, если положить

(4)

При этом в стационарном случае

E =-Ñ j. (5)

Поэтому, вероятно, величину j следует рассматривать как обобщение понятия скалярного потенциала на случай переменных полей.

Далее из другого уравнения Максвелла имеем

(6)

Из предыдущего изложения известно, что потенциалы поля определяются неоднозначно. Используя это обстоятельство, попытаемся упростить уравнение (6).

Наложим дополнительное условие на потенциалы

(7)

При этом уравнение (6) упрощается и принимает вид

(8)

Здесь, как и ранее, обозначено

(9)

Теперь остается удовлетворить уравнению Максвелла

(10)

Имеем

(11)

Используя (10), (11), получаем

(12)

Уравнения (8), (12) называют уравнениями Даламбера для потенциалов электромагнитного поля. Эти уравнения позволяют определять потенциалы по заданному распределению токов проводимости и зарядов. Если потенциалы известны, то напряженности полей находятся по формулам (1), (4). В стационарном случае уравнения (8), (12) переходят в полученные ранее уравнения Пуассона для потенциалов стационарных полей. При rº 0, j º 0 уравнения Даламбера переходят в волновые уравнения.

Получим решение уравнения (12). Для упрощения записи рассмотрим случай e=1 (при этом v = c).

Разделим все пространство на элементарные объемы dV ¢. Определим поле, создаваемое каждым из зарядов de (t), заключенным в объеме dV ¢. Искомое поле будет суперпозицией полей, создаваемых всеми элементарными зарядами.

Для потенциала поля, создаваемого точечным зарядом de (t), уравнение (12) принимает вид

(13)

Здесь R = rr ¢, где r ¢ –радиус-вектор заряда de (t), d(R)–дельта-функция Дирака. Всюду, кроме точки R =0, правая часть (13) обращается в нуль. Так как поле обладает центральной симметрией относительно точки R =0, то величина j будет зависеть только от R. Дифференцирования в выражении оператора Лапласа в уравнении (13) производятся по координатам радиус-вектора r. Так как радиус-вектор r ¢ фиксирован, то после тривиальной замены переменных можно перейти к дифференцированию по координатам радиус-вектора R и далее, наконец, учесть центральную симметрию задачи. Используя выражение для оператора Лапласа в сферических координатах, получим следующий вид уравнения (13):

(14)

всюду, кроме точки R =0. Уравнение (14)–это хорошо известное волновое уравнение в сферически симметричном случае. После замены

(15)

находим следующее уравнение для y:

(16)

Частное решение такого уравнения имеет вид

(17)

где f пока произвольная дважды дифференцируемая функция. Подставив (17) в (15), найдем частное решение

(18)

в виде расходящейся сферической волны.

Далее выберем функцию f так, чтобы выражение (18) удовлетворяло уравнению (13) и при R =0. При R ®0 функция (18) стремится к бесконечности, поэтому ее производные по R при малых R еще быстрее стремятся к бесконечности. Следовательно, при малых R можно пренебречь вторым слагаемым в левой части уравнения (13). Тогда при малых R уравнение (13) принимает вид уравнения Пуассона для потенциала точечного заряда de (t)

Dj=-4p de (t)d(R). (19)

Поэтому

при уменьшении R. Учитывая данное обстоятельство, находим из формулы (18)

(20)

Далее, используя принцип суперпозиции, суммируем потенциалы всех имеющихся зарядов

(21)

Точно также можно найти, например, компоненту векторного потенциала Ax. Результат может быть записан сразу без проведения дополнительных вычислений. Наконец, для A можно записать следующее выражение:

(22)

Формулы (21), (22) определяют так называемые запаздывающие потенциалы. Название «запаздывающие» обусловлено следующим простым обстоятельством. Потенциалы в момент времени t определяются значениями зарядов и токов в предшествующие моменты времени, которые отстают (запаздывают) от t на время , которое необходимо, чтобы электромагнитное возмущение дошло от точки r ¢ до точки r.

Итак, потенциалы нестационарного поля определяются совершенно аналогично потенциалам стационарного поля. Однако имеется и весьма существенное различие, обусловленное необходимостью учета эффекта запаздывания.

В общем случае к полученным решениям (21), (22) следует прибавить решения однородных уравнений, которые описывают внешнее поле.


 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.