Алгебраическое интерполирование

Если базисные функции представляют собой степенные функции, то в качестве используется алгебраический многочлен , так как такие многочлены хорошо изучены, их легко дифференцировать и интегрировать, а функцию можно разложить в ряд Тейлора.

Постановка задачи: Пусть функция задана таблицей своих значений . Требуется построить многочлен степени такой, чтобы выполнялось условие алгебраического интерполирования, , .

Распишем условие интерполирования для каждого узла таблицы:

(1)

Требуется при известных , найти . Система (1) является системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных . Для единственности решения СЛАУ необходимо, чтобы , что и будет предполагаться далее.

Определитель системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля:

.

Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема: существует единственный интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям , .

Заметим, что на практике построение интерполяционного многочлена путем решения системы (1) не используется, поскольку соответствующая вычислительная задача, как правило, является плохо обусловленной. Рассмотрим два способа построения интерполяционных многочленов – в форме Лагранжа и Ньютона.

Из теоремы следует, что различные интерполяционные многочлены (Лагранжа, Ньютона и т.д.) отличаются друг от друга только формой записи.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

В основе нахождения интерполяционных многочленов в форме Лагранжа лежит построение вспомогательных многочленов . В общем виде интерполяционный многочлен Лагранжа степени имеет вид где .

В частности,

;

;

Заметим, что наименьшая степень многочлена, удовлетворяющая условию интерполирования для таблицы из узлов, равна , а наибольшую степень такого многочлена указать невозможно.

Пример 1: Пусть известны значения функции в узлах таблицы

	0.1264	0.3487	0.6481	0.4398	0.4643

Требуется вычислить значение функции в точке , используя многочлены Лагранжа 1, 2 и 3 степени. Оценить погрешность интерполирования. Построить графики многочленов Лагранжа 1, 2 и 3 степени.

Решение: Составим интерполяционный многочлен Лагранжа первой степени, замечая, что точка, в которой требуется вычислить значение функции лежит между и , тогда , и .

Канонический вид многочлена Лагранжа первой степени имеет вид: . Вычисления с округлением результатов до четырех знаков после запятой значения многочлена Лагранжа первой степени в точке дают .

Составим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени. Для этого к выбранным ранее точкам и необходимо добавить ближайшую к точку из узлов таблицы, а именно, , и занумеровать полученную последовательность точек. Полученные таким образом точки являются опорными точками для построения многочлена Лагранжа второй степени. Тогда , и

.

Канонический вид многочлена Лагранжа второй степени имеет вид: , и вычисления дают .

Составим интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени. Для этого в качестве опорных точек выберем , так как справа точек в таблице узлов нет. Тогда , и

.

Канонический вид многочлена Лагранжа третьей степени имеет вид: , и вычисления дают .

На одном рисунке представлены графики интерполяционных многочленов в форме Лагранжа первой, второй и третьей степени.