Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Определение: Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины следующего вида , , , и т.д. по всей таблице. Определение: Разностными отношениями (разделенными разностями) второго порядка называются величины следующего вида , , и т.д. Аналогичным образом определяются разностные отношения более высоких порядков. При построении интерполяционного многочлена в форме Ньютона обычно сначала строят таблицу разделенных разностей или разностных отношений, по которой потом строится интерполяционный многочлен
В данной таблице подчеркнутые величины являются опорными, по которым строится интерполяционный многочлен в форме Ньютона
. Отметим, что интерполяционным многочленом в форме Лагранжа удобно пользоваться при интерполировании нескольких функций по фиксированной системе узлов, а интерполяционным многочленом в форме Ньютона – по меняющейся системе узлов. Пример 2: Пусть известны значения функции в узлах таблицы
Требуется вычислить значение функции в точке , используя многочлены Ньютона 1, 2 и 3 степени. Оценить погрешность интерполирования. Провести сравнение с многочленами Лагранжа соответствующих степеней. Решение: Занумеруем узлы таблицы в порядке возрастания расстояния до точки , т.е. в следующем порядке: , , , , . Для построения интерполяционного многочлена в форме Ньютона сначала составим таблицу разделенных разностей или разностных отношений:
Построим интерполяционные многочлены в форме Ньютона, которые запишем в канонической форме: , ,
Следует обратить внимание, что погрешность при округлении может давать незначительные расхождения в коэффициентах интерполяционных многочленов в форме Лагранжа и Ньютона, начиная с третьей степени (в данном примере, так как вычисления осуществлялись с точностью до четырех знаков). Вычисления в точке дают следующие результаты: , , , .
|