Среднеквадратичного приближения

Требуется найти набор коэффициентов такой, что величина – среднеквадратичное отклонение (невязка) принимает наименьшее значение . Такая задача называется линейной задачей метода наименьших квадратов. Здесь в качестве критерия выбирается условие, что сумма квадратов отклонений во всех узлах сетки таблицы должна быть минимальной, т.е. .

Существует несколько подходов к решению этой задачи. Простейший из них состоит в следующем: нужно использовать условие минимума функции как функции нескольких переменных для получения системы уравнений относительно . Заметим, что минимум функции достигается при том же наборе коэффициентов , что и при достижении минимума функции . Условие минимума функции можно записать следующим образом: . После дифференцирования и перемены порядка суммирования получим систему алгебраических уравнений:

. (3)

В том случае, когда в качестве базовых функций выбираются степенные функции , в роли аппроксимирующей функции выступает полином . Тогда система (3) упрощается: . Описанный метод построения многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения части называют методом наименьших квадратов.

Построение многочленов наилучшего

среднеквадратичного приближения

Пример: Зададимся , тогда . Функция в этом случае примет следующий вид , а условие минимума этой функции запишется следующим образом . Тогда приходим к необходимости решения следующей системы линейных алгебраических уравнений

Зададимся , тогда . Тогда приходим к решению следующей системы

Пример: Пусть функция задана таблицей своих значений

	0.1264	0.3487	0.6481	0.4398	0.4643

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эту функцию многочленами первой и второй степени.

В практических расчетах для построения СЛАУ заполняют вспомогательную таблицу

		0.1264
		0.3487		0.3487			0.3487
		0.6481		1.2962			2.5924
		0.4398		1.3194			3.9582
		0.4643		1.8572			7.4288
		2.0273		4.8215			14.3281

.

Вычислим невязку для :

Аналогично вычисляется невязка для :

.

На рисунке представлены графики кривыхмногочленов наилучшего среднеквадратичного приближения первой и второй степени.