Математические понятия и методика их изучения

Понятием называется такая форма мышления, которая отражает в мозгу человека общие, существенные, отличительные (специфические) свойства (признаки) объектов и явлений действительности. Существенными свойствами и связями являются те, при помощи которых предметы и явления одного класса отличаются от предметов и явлений другого класса, являются общими для данного класса. Математические понятия, по выражению Ф.Энгельса, отражают в мозгу человека пространственные формы и количественные отношения действительного мира, или, по выражению А.Д.Александрова, – формы и отношения, отвлеченные от их содержания. Математические понятия, в отличие от понятий других наук, отличаются высокой ступенью абстракции и обобщения, с развитием науки они развиваются, изменяются и совершенствуются.

Поскольку понятие – это обобщенное отражение свойств целой группы однородных предметов, имеющих общие существенные признаки, оно существует в слове, научном термине. В письменной математической речи слова обозначаются символами, и, таким образом, оперирование символами является оперированием понятиями; поэтому каждый символ и научный термин должен иметь строго определенный, однозначный смысл, который определяется данным понятием.

С каждым понятием связано его содержание (множество всех его существенных признаков) и объём (множество объектов, к которым применимо данное понятие). Множество всех объектов, к которым приложимо понятие, составляет класс; один класс является высшим (родом) по отношению к другому (виду), если он включает в себя вместе с элементами других классов все элементы этого класса. Отношение рода и вида – одно из основных отношений между понятиями.

Находясь в известных отношениях друг с другом, понятия каждой науки образуют определенную систему. Один и тот же раздел школьного курса математики может строиться с помощью различных систем понятий, различающихся между собой порядком введения или самими понятиями, последовательностью их изучения (например, различные системы построения школьного курса геометрии). На каждой новой ступени развития понятий возникают новые и высшие по типу связи между ними, пути движения от понятия к понятию. Так, сокращение содержания понятия () влечет за собой расширение его объема () и носит название обобщения понятия; усложнение содержания понятия () приводит к сужению его объема () и называется ограничением (специализацией) понятия. Например, куб и параллелепипед, общее кратное и наименьшее общее кратное, тождественное преобразование и сокращение дробей и другие.

1.2. Изучить понятие – значит усвоить его содержание и объем.

1.2.1. Содержание понятия раскрывается через определение. Определением понятия является связное предложение (речевое или символическое), содержащее перечисление характеристических признаков понятия. По словам А.Я. Хинчина [125], определение должно без остатка сводить определяемое понятие к уже известным понятиям данной научной дисциплины. Понятие может быть определено различными способами:

1) Через ближайший род и видовые отличия, т.е. указание более общего понятия (рода), частным случаем которого (видом) является определяемое понятие, и какого-нибудь признака, отличающего новое понятие от всех других, объединяемых более общим. Таких определений очень много в школьном курсе математики, и во всех случаях нужно стремиться к отысканию ближайшего рода, так как именно в этом случае мы подходим ближе к определяемому понятию, его объему и благодаря этому уменьшается совокупность видовых признаков в определении.

2) Однако, не все математические понятия могут быть определены таким образом, с чего-то надо начинать. Первые понятия курса нельзя полностью свести к другим понятиям, так как их еще нет. По этой причине в математике существуют первоначальные неопределяемые или основные понятия, такие как множество, натуральное число, точка, прямая; их содержание устанавливается с помощью косвенного определения через абстракцию. Выделяется то общее, что имеют объекты самой разнообразной природы, объединяемые в один класс по какому – либо признаку, отвлекаясь от всех свойств, отличающих их друг от друга. Например, натуральное число – характеристика класса эквивалентных конечных множеств. Иногда в этих случаях используют описание, с помощью которого вводят несколько первичных понятий. Иногда заменяют описанием логически возможное, но слишком сложное, громоздкое и неудобное определение (описание может также дополнять такое определение информацией, способствующей пониманию).

Некоторые авторы считают ненужным рассматривать отдельно способ определения понятий через абстракцию, так как абстракция играет существенную роль при введении всех математических понятий, как с помощью определений, так и описательным путем.

3) Логическую определенность придает основным понятиям косвенное определение через аксиомы (аксиоматическое определение); они наделяют основные понятия такими свойствами, которые дают возможность применять их в доказательствах. Поэтому это уже не описательное введение понятия, а строгое определение.

4) Разновидностью родовидовой формы определения являются: а) генетическое (или конструктивное) определение – вместо характеристического свойства указывают процесс образования (или происхождения) определяемого объекта (например, тела вращения); б) индуктивное определение, в котором указывают способ получения каждого следующего элемента определяемого класса объектов из каких-либо исходных его элементов (например, рекуррентные формулы, определяющие прогрессии).

Правильное определение понятия подчиняется требованиям:

1) Определение должно быть логически правильным, т.е. иметь структуру, соответствующую описанным выше способам определения. Например, чтобы сформулировать определение через ближайший род и видовые отличия, нужно: а) назвать определяемое – понятие (термин), б) указать ближайшее родовое понятие, в) перечислить характеристические признаки (видовые отличия), выделяющие его из названного рода.

2) В определение не должно быть ссылок на еще не определенные понятия.

3) Определение не должно содержать порочного круга, т.е. определяемое понятие не должно содержаться (явно или неявно) в определяющем (например, «подобными называются фигуры, которые между собой подобны»).

4) Определение должно быть соразмерным (адекватным) определяемому понятию (например, различные определения иррационального числа).

5) Определение не должно содержать указаний на такие свойства определяемых понятий, которые вытекают из определения (например, лишние признаки в определении параллелограмма). Одно и то же понятие часто допускает разные определения, т.к. любое характеристическое свойство может служить основой для определения. Для того, чтобы использовать выводы, полученные из разных определений, нужно доказывать их равносильность.

6) Каждый термин (символ) должен определяться не более одного раза (отсутствие так называемой, омонимии); определив его, необходимо следить за тем, чтобы и в дальнейшем использовалось именно это определение.

7) Определяя понятия, необходимо приводить примеры объектов, ему удовлетворяющих, показывающих, что определение не является бессодержательным.

Типичные ошибки учащихся в определениях понятий связаны с нарушением этих требований – не могут верно определить исходное множество (род), допускают тавтологии, «теряют» само определяемое понятие (определение начинается со слов «это когда») и т.п.

1.2.2. Объем понятия раскрывается через классификацию. Определение классификации и требования к ней сформулированы в предыдущей лекции. Некоторые из них можно перефразировать как следствия для классификации понятий: а) понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми, б) в процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду, в) сумма объемов понятий, получающихся при классификации, должна равняться объему исходного понятия. Классификацию понятий удобно иллюстрировать наглядно (с помощью кругов Эйлера, таблиц, схем, рисунков и т.п.).

Наряду с классификацией полезно составлять родословную понятия - построение логического «дерева» его происхождения. Например, «родословная» понятия «плоский многоугольник»: 1) плоскость, многоугольник, 2) простая замкнутая ломаная, 3) простая ломаная, замкнутая ломаная, 4) ломаная, 5) фигура, точка, отрезок, 6) прямая, точка лежит между двумя точками. Здесь представлена последовательность шагов для построения определения, которая может использоваться учащимися в качестве опорной информации.

Различие между классификацией и «родословной» понятия в том, что при классификации делят объем понятия и идут от рода к виду (в направлении ограничения объема), а при составлении «родословной» идут в противоположном направлении расширения понятия, причем важно содержание понятия.

1.3. Формирование у учащихся математических понятий одна из важнейших задач математического образования, от качества решения которой зависит качество обучения. Это – сложный и длительный процесс, требующий многообразных методов и приемов. В течения этого процесса понятия образуются и определяются, систематизируются.

В лекции 1 мы отмечали установленные психологами три ступени понимания математического материала; им соответствуют три этапа формирования понятий, которые назовем условно подготовительным, основным и этапом закрепления.

Первый этап необходим потому, что основные трудности в усвоении математики – это трудности усвоения идей, а не математического аппарата, как бы он ни был сложен; поэтому изучение любого математического материала нужно начинать с выяснения его идейной стороны. Новые понятия в обучении нельзя вводить формально, их определение нужно подготавливать. Нельзя допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий, нужно показывать их неизбежность в силу стоящих перед наукой задач. Подход к новым понятиям нужно сделать наиболее естественным с точки зрения учащихся, исходя из тех представлений, которые учащиеся уже имеют _, и тех, которые создаются у них на основе восприятия и ощущения.

С этой целью используются методические приёмы создания проблемной ситуации, в результате изучение которой происходит выявление, анализ и сравнение общих и существенных признаков некоторых объектов:

1) наблюдение, в результате которого выделяются общие и существенные признаки наблюдаемых объектов;

2) опыт или практическая работа исследовательского характера, накапливающая данные для индуктивного умозаключения;

3) отыскание ярких практических примеров, показывающих необходимость изучения нового понятия,

4) моделирование (обозначения), когда необходимые признаки отделяются от предметов и фиксируются с помощью схем, символов, слов;

5) варьирование несущественных признаков предмете: или явлений при сохранении существенных признаков, что создает основу для их обобщения;

6) обзоры изученного или исторические обзоры, показывающие корни нового в старом или аналогии нового со старым;

7) решение задач, в ходе которого появляется необходимость введения нового понятия (подводящие задачи).

На втором этапе проводится работа над определением понятия. Умение дать правильное определение, понятию – один из критериев его усвоения. С этой целью используются методические приёмы, помогающие учащимся усвоить определение:

1) применение приёмов определения понятий, в первую очередь, сформулированного выше приёма определения через ближайший род и видовые отличия. Работа над этим приёмом должна быть начата ещё в младших классах, где следует обращать внимание на отношения между родовыми и видовыми понятиями, а после изучения достаточного числа определений в начале систематических курсов алгебры и геометрии – выявить наиболее типичную структуру определения и соответствующий прием его построения. На протяжении этой работы выполняются упражнения на установление рода, вида и характера связей между ними, показываются образцы построения определений с опорой на сформулированный прием, упражнения на самостоятельную формулировку определения нового понятия;

2) формулировка определения, введение термина и символа, обозначающих понятие, их мотивировка;

3) рассмотрение частных и особых случаев, если они имеются;

4) упражнения на применение приема определения нового понятия следующих видов: а) на выделение общих и существенных свойств понятия, б) на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними, в) на варьирование существенных несущественных свойств понятия, г) на подведение под понятие, д) на приведение примеров и контрпримеров (объектов, не подходящих под понятие), е) на выведение следствий из определения, ж) на доказательство равносильности разных определении одного понятия, з) на отыскание ошибок в определениях, и поиск других определений нового понятия.

5) необходимо следить за соблюдением требований, предъявляемых к определениям, замечать и устранять возникающие у учащихся ошибки.

Третий этап – установление и развитие связей и отношений нового понятия с другими, способствующие усвоению всей системы понятий данной математической теории и математической дисциплины в целом. С этой целью используются следующие методические приёмы:

1) включение нового понятия в существующую классификацию или классификация данного понятия, упражнения на классификацию и систематизацию понятий;

2) теоретические обобщения, устанавливающие логические связи с другими понятиями с использованием обобщающих таблиц и схем, конспектов, ТСО, устных бесед и лекций;

3) составление «родословной» понятия;

4) упражнения на обобщение и специализацию понятий, на «узнавание» понятий (на чертеже), на замену одного понятия другими;

5) решение задач на применение новых понятий;

6) повторение на последующих уроках определения понятия.