Дальнейшее развитие эвристического метода привело к созданию так называемого «проблемного обучения».

При проблемном обучении знания тоже не даются в готовом виде, а учитель организует их «добывание», «открытие»: подбирает такие задачи и вопросы, которые заинтересуют учащихся и вызовут напряженную мыслительную деятельность. Возникновение интереса учащихся зависит от умения учителя создать так называемую проблемную ситуацию - жизненное или учебное затруднение, возникающее тогда, когда учащийся понимает задачу (явление, ситуацию), пытается её решить (объяснить), но чувствует недостаточность имеющихся знаний. Эта ситуация вызывает у учащихся желание найти объяснение непонятному факту, т.е. создает мотивы учебной деятельности для восприятия новых знаний.

Отметим основные методические приемы создания проблемной ситуации в обучении математике:

1) использование жизненных явлений, фактов, их анализ с целью теоретического объяснения;

2) использование с той же целью задачи межпредметного, прикладного, профессионального и т.п. характера;

3) использование исторического или занимательного материала (фактов биографии математиков, математических фокусов и т.п.);

4) организация практической работы исследовательского характера, в ходе которой учащиеся приходят к эмпирическим выводам, требующим теоретического обоснования;

5) исследовательские задания, цель которых обнаружить некоторые закономерности, требующие теоретического обоснования.

В этих случаях учащиеся ставятся перед такими посильными затруднениями, которые заставляют их напрячь мысль. При этом меняется структура урока, называемого в этом случае проблемным; его этапы:

1) организация условий для возникновения проблемной ситуации или создание проблемной ситуации;

2) определение проблемы и её формулировка;

3) поиск путей решения проблемы, выделение частных проблем;

4) выдвижение различных гипотез, коллективное и индивидуальное решение проблемы, проверка его правильности и исправление ошибок;

5) решение главной проблемы урока, закрепление нового материала.

В зависимости от способностей учащихся их участие на различных этапах проблемного обучения различно. Применительно к математике психолог В.А. Крутецкий определяет три уровня проблемного обучения: 1) учитель сам ставит проблему, формулирует ее, а ученики должны самостоятельно найти пути её решения; 2) ученикам предлагается самостоятельно сформулировать и решить проблему, на которую учитель только указывает; 3) учащиеся должны найти проблему самостоятельно, а найдя, сформулировать её и исследовать возможности и способы её решения.

Разновидностью проблемного обучения является метод «мозговой атаки» («мозгового штурма»), смысл которого хорошо выражен старой русской пословицей: «одна голова хорошо, а две – лучше». Идеи у детей приходят на ум разные, иногда с виду довольно странные, но если их не отвергать, а представить в удобно обозримой форме, эффективно с ними поработать, то их можно превратить в план решения трудной проблемы, выделив крупные проблемы и подпроблемы, установить их связь. Эту работу можно проделать, обращаясь к коллективному разуму или к мнению каждого из учеников, сочетать фронтальную, групповую и индивидуальную формы работы.

Проблемное обучение сохраняет все достоинства эвристического метода, обеспечивает связь обучения с жизнью, с практикой, с историей математики, использует наиболее эффективные виды самостоятельной работы, делает процесс обучения динамичным, дифференцированным, активным. Но сохраняются и его трудности, которые мешают реализации структуры проблемного урока в целом. Поэтому в практике обучения математике часто ограничиваются лишь созданием и использованием проблемной ситуации, позволяющей включить учащихся в активную учебно-познавательную деятельность на уроке.

2.5. Проблемную ситуацию иногда сравнивают с задачей. Математическая задача отличается от проблемной ситуации тем, что в первом случае вопрос сформулирован точно, а во втором он не и выкристаллизован, проблемная ситуация является базой, источником для построения математических задач.

С развитием традиционных методов обучения расширяется и роль задач в обучении математике, так как они становятся важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается теория, формируются умения и навыки, развивается самостоятельность мышления. В 70-е годы академик П.М. Эрдниев назвал упражнения (вид задачи) основным элементом обучения математике; они являются носителями учебных действий учащихся, адекватных содержанию, методам, средствам и формам обучения математике [136]. Задачи и упражнения могут служить разным целям обучения: мотивации изучения нового материала и его введения; возбуждения и развития интереса к математике; подведения к идее доказательства теоремы или решения другой задачи; приобщения к поисковой и творческой деятельности математического характера; иллюстрации математических фактов; самостоятельного изучения нового; осмысления и углубления теоретического материала; выработки необходимых умений и навыков; развития математического мышления; контроля и самоконтроля в знаниях, т.е. целям обучения; развития и воспитания учащихся; приобщения их к практической деятельности.

Если эти цели обучения через задачи объединить в единое целое и реализовать их в учебном процессе, то получится конкретная методика изучения того или иного раздела курса математики, ядро которой составляет система задач и упражнений. Таким образом, разнообразные задачи и упражнения становятся на всех этапах учебного процесса основной формой организации учебной деятельности учащихся по изучению математики. В этом случае, система задач и упражнений должна содержать по каждой изучаемой теме а) подготовку к изучению новых понятий и математических фактов, б) постоянное возвращение к ранее изученному, в) упражнения, формирующие новые понятия, г) формирование приемов решения задач, д) подготовку понятий, которые будут изучаться в дальнейшем, е) задачи на развитие мышления и т.п. Учителю необходимо хорошо знать основные и попутные пели и роль каждого упражнения, знать функции задач в обучении математике.

Таким образом, общие функции задач в обучении теперь формулируются следующим образом: 1) главное средство, для овладения системой математических знаний, 2) основное средство для формирования умений и навыков математического характера, 3) основное средство развития правильного мышления, 4) средство формирования общеучебных умений, 5) важное средство активизации процесса обучения, 6) одно из средств воспитания в широком смысле слова. В зависимости от функций задач в обучении их классифицируют (А.Д. Семушин и К.И. Пешков[111], [112]) на три группы: 1) задачи с дидактическими функциями (на усвоение, применение, закрепление теоретического материала, выработку умений и навыков решения задач и их контроль), 2) задачи с познавательными функциями (на усвоение и углубление основного и дополнительного материала, методов решения основных типов математических задач), 3) задачи с развивающими функциями (на развитие самостоятельного мышления, полноценной аргументации, сообразительности, лаконизма, творчества). В настоящее время, на наш взгляд, к ним следует добавить 4) задачи с гуманитарным содержанием, направленные на воспитание общей культуры и кругозора учащихся, в которых воспитывает не только фабула задачи, но и сам процесс, и результат её решения.

Профессор Ю.М. Колягин [50] подсчитал, что учащиеся за время обучения в школе решают свыше 20000 задач и, тем не менее, решают их плохо. Причины нужно искать в недостатках традиционного обучения решению задач, которые он формулирует следующим образом:

1) Излишняя стандартизация, мало внимания задачам с развивающими функциями. Стандартные задачи (упражнения на вычисление, на выполнение тождественных преобразований, работа е таблицами и т.п.) нужны в обучении, т.к. при их решении закрепляются теоретические знания, отрабатываются определенные навыки. Но им нужно уделять места и времени в обучении взависимости от их функций, а освободившееся место и время использовать для осуществления других целей обучения.

2) Увлечение числом решенных задач в ущерб их обучающему качеству. Когда в задачах не различают познавательные – и развивающие функции, тогда обучение решению задач превращается в самоцель – решение ради решения. Это ведёт к тому, что времени тратится больше, а результат хуже. Учитель должен четко представлять функции каждой задачи, чему она может научить учеников, решение каждой задачи должно быть шагом вперед в обучении.

3) Нет акцента на воспитание интереса учащихся к решению задач, учащиеся даже часто спрашивают «зачем решать задачи?» Часто нежелание решать задачи связано с трудностями, для преодоления которых нужны, кроме интереса, воля, упорство. Опытные учителя стараются создать такие, условия, при которых учащиеся смогут достигнуть хотя бы незначительного успеха в решении задач – используют вспомогательные обучающие задачи, необычную фабулу задачи, рассматривают оригинальные решения и т.п.

4) Несовершенство методики обучения решению задач. В условиях активизации обучения нужно больше внимания уделять обучению учащихся посредством решения проблемных задач деятельности поискового характера, обучению общим приёмам решения задач разнообразного конкретного содержания, обучению способам самостоятельной деятельности, по изучению математики, самоконтролю и т.д.

В связи с необходимостью совершенствования методики обучения решению задач важную роль стало играть понятие учебной задачи, которое впервые появилось в психологических работах, связанных с разработкой концепции учебной деятельности (Д.Б. Эльконин, 1962г.). Для учебной задачи прямым продуктом её решения, в отличие от математической задачи, является учебный факт – знание обобщенных способов учебной деятельности; предметные и учебные факты связаны между собою. Например, определение конкретного математического понятия есть математический факт, но умение определять понятия есть учебный факт. В случае решения математических задач, учебная задача это такая задача, цель которой получить: а) теоретическое обобщение математических задач определенного типа и б)общий метод решения математических задач данного типа, который, определяется взаимосвязью специфических и общих учебно-познавательных действий.

Опираясь на сказанное выше, можно говорить о следующей примерной общей методической схеме обучения учащихся решению математических задач, определяющей последовательность действий учителя:

1) Изучение содержания задачи, для чего используют выделение в явном виде условия и требования задачи, краткую запись, геометрическую и графическую иллюстрацию, вопросы по содержанию задачи и другие методические приемы.

2) Поиск решения задачи, для чего используют специальный анализ (геометрический, алгебраический и т.д.), общий или частичный анализ как прием поиска, решение вспомогательных задач, догадку, интуицию, сравнение или аналогию с уже решенной задачей, эвристический поиск, метод проб и ошибок. Поиск решения (или анализ) заканчивается планом решения задачи.

3) Решение задачи по составленному плану и его запись с обучением использованию принятых для данного типа задач обозначений, символов, терминов и обоснованием отдельных шагов решения.

4) Проверка решения или его исследование (в зависимости от характера задачи), запись ответа.

5) Анализ и оценка информации, полученной в процессе решения задачи, выделение наиболее важного и полезного из того, чему учащиеся научились на данной задаче или серии задач.

Как и учитель, учащиеся тоже должны овладеть общими подходами к решению математических задач и выполнению отдельных его этапов. Состав общего приема решения математической задачи для учащихся можно сформулировать, следующим образом:

1) изучить задачу (выделить данные и искомые, сделать чертёж и т.п.);

2)если нужно, провести анализ - поиск решения (вспомнить: есть ли специальный приём анализа или решения задач данного типа; известны ли похожие задачи; провести общий анализ задачи и т.п.);

3) на основе анализа составить план решения или сформулировать известный план решения задач данного типа (при этом следить, все ли данные задачи использованы, нельзя ли преобразовать искомые или данные задачи для более быстрого составления плана);

4) решить задачу по составленному плану (при реализации плана проверять правильность каждого шага, правильно заменять термины и символы их определениями, использовать свойства данных в задаче объектов);

5) записать решение, используя приемы записи;

6) если нужно, проверить или исследовать решение (использовать способы проверки: проверить ход решения, проверить результат, решить задачу другим способом, использовать специальные приемы проверки решения задач данного типа);

7) рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать наиболее рациональный способ;

8) записать ответ;

9) проанализировать информацию, полученную в процессе решения задачи, выделить главное, обобщить, включить в систему прежнего знания о приемах работы над задачей.

Полезен также общий прием контроля решения задачи:

1) проверить правильность записи условия;

2) проверить ход решения, правильно ли использован прием решения, выдержан ли план решения;

3) проверить правильность записей и чертежей;

4) проверить вычисления и преобразования;

5) исследовать решение, рассмотреть частные случаи;

6) рассказать кратко ход решения задачи;

7) полезно проверить решение у товарища.

Вопросам обучения учащихся решению математических задач уделяют внимание многие ученые и учителя; очень полезны исследования и рекомендации Д. Пойа [189], Ю.М. Колягина [50], Л.М. Фридмана [122.], Г.И. Саранцева [101] и других, в которых рассматриваются, как общие, так и специальные закономерности обучения, приемы решения задач разных типов ([9], [13], [17], [27], [37], [54], [130] и др.)

2.6. Математические и учебные задачи становятся ядром любой самостоятельной работы учащихся на уроках математики.

В дидактике теперь рассматриваются различные классификации самостоятельных работ (Б.П. Есипов, П.И. Пидкасистый [88] и др.). Наиболее часто встречаются в теории и практике обучения классификации самостоятельных работ: 1) по степени самостоятельности учащихся, 2) по степени дифференциации и индивидуализации, 3) по дидактическим целям, 4) по источнику знаний.

К классификации по степени самостоятельности относятся, например, виды самостоятельных работ, разработанные П.И. Пидкасистым: 1) воспроизводящие самостоятельные работы по образцу (необходимые для формирования навыков решения основных типов задач и их применения в сходных ситуациях), 2) реконструктивно-вариативные, 3) эвристические, 4) творческие (исследовательские).

В последних трех видах учащиеся привлекаются к выполнению более сложных видов деятельности – учатся открывать новое, высказывать собственное суждение, находить пути решения задач, делать выводы. К таким работам по математике относят: а) решение задач несколькими способами, б) составление задач и примеров учащимися, в) математические сочинения, в) доклады учащихся и другие.

Другие классификации самостоятельных работ:

по дидактической цели а) подготовительные упражнения к формированию понятия, б) задания для формирования определения понятия, в) упражнения и задачи на закрепление нового материала, г) тренировочные упражнения для выработки умений и навыков решения и применения изученного материала;

по форме выполнения – устные и письменные, классные и домашние, общеклассные, фронтальные, групповые и индивидуальные;

по источнику знаний и методу – а) работа с учебником, б) работа со справочной литературой, в) решение и составление задач, г) учебные упражнения, д) сочинения и описания, е) задания по схемам, чертежам и другие.

2.7. Наряду с развитием и совершенствованием традиционных методов обучения в практике работы российского образования сохраняется технология классно-урочной системы, которая хорошо освоена и ещё долго будет использоваться. Однако школа вынуждена меняться в связи с изменением целей образования, ей необходима такая система обучения, которая обеспечивала бы образовательные потребности каждого ученика в соответствии с его склонностями, интересами, возможностями. Традиционная технология не решает задачи такой организации учебной деятельности учащихся. Сохраняются нерешенными противоречия: между необходимостью дифференциации образования и единообразием содержания и технологии обучения; между преобладающим в школе объяснительно-иллюстративным методом обучения и деятельностным характером учения, которое способствовало бы развитию ученика; между фронтальными формами обучения и индивидуальным способом присвоения знаний каждым человеком, индивидуальным темпом его учебно-познавательной деятельности.

Разработка новых педагогических технологий направлена на снятие каких-то из этих противоречий, причем большинство из них основано на деятельностном подходе к обучению, когда ученик должен учиться сам, а учитель - осуществлять мотивационное управление его учением, т.е. мотивировать, организовывать, координировать, консультировать, контролировать. В настоящее время в педагогике и опыте передовых учителей наиболее известны:

а) личностно-ориентированные технологии обучения (технология коллективного взаимообучения, технология полного усвоения),

б) технология разноуровневого обучения,

в) адаптивная система обучения,

г) цикло-блочная система обучения,

д) технология модульного (или модульно-рейтингового) обучения,

е) новая информационная технология обучения.

О примерах адаптации к обучению математике этих технологий см. [60], [75] и другие.