Общематематические (специальные) методы обучения математике

Мы условно разделили основные методы познания, применяемые в самой математике и играющие роль в построении и изучении дидактической системы математики в школе, на две группы. К первой относятся те методы, которые характерны для всех математических дисциплин: метод математического моделирования, аксиоматический метод, использование математического языка, обучение через задачи; ко второй – методы, имеющие существенное значение в отдельных предметах или их разделах, основанные на определенной математической теории.

1.1. Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является метод построения математических моделей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата. Математическая модель – это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений, векторов и т.п.).

Метод математического моделирования содержит три этапа: 1) построение математической модели объекта (явления, процесса), 2) исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики, 3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации. При этом должны соблюдаться следующие требования: 1)модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств; 2) модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при её построении допущениями; 3) модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.

После того, как математическая модель построена, возможны два случая: а) полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами; б) эта модель не укладывается ни в одну из известных схем моделей, разработанных в математике, тогда возникает внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой. Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим объектам того же класса.

Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитировать описанный процесс исследования в самой математике с помощью математического моделирования. С этой точки зрения обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач («подводящих» задач), с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих математических моделей. Затем объектом изучения становятся уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширению теоретических знаний учащихся. После того, как соответствующая теория построена, её аппарат применяется к решению исходной задачи, а также других задач из других областей, но приводящих к моделям этого же класса. Так можно строить изучение каждого нового вида функций, уравнений, производной, интеграла, операций над векторами, вывода формул вычисления площадей и объемов и т.п. Легко видеть, что в такой методике просматривается связь с проблемным обучением математике.

Те же три этапа математического моделирования выступают как средство решения прикладных задач. Наиболее характерные примеры в курсе математики – решение в курсе алгебры текстовых задач (модель – уравнение или система уравнений), в курсе начал анализа прикладных задач на нахождение экстремальных значений функции (модель – функция). Не менее важно акцентировать внимание учащихся на сущности метода при решении межпредметные задач как в курсе математики, так и в смежных дисциплинах. Работа в этом направлении не только совершенствует реализацию межпредметных связей математики с другими предметами, но и способствует обучению учащихся принципам, умениям и навыкам прикладного математического исследования.

1.2. Мы уже говорили не раз, что математика – дедуктивная наука, и важнейшую роль в этом отношении играет аксиоматический метод – такой метод научного построения теории, при котором из конечного числа аксиом логически выводят остальные положения этой теории.

Аксиоматический метод возник в древней Греции (4-3 в.в. до н.э.), в связи с разработкой системы геометрии. Наиболее совершенным для того времени образцом его являются «Начала» Евклида, которые и считались таковыми до второй половины 19в. Аксиоматика Евклида была так называемой «содержательной» аксиоматикой – аксиомы и вытекающие из них теоремы рассматривались как содержательные (т.е. имеющие реальный смысл) высказывания об объектах геометрии, а сам логический вывод из них предполагался интуитивно понятным. Но с появлением геометрии Н.И. Лобачевского стало ясно, что нельзя дать единые общие определения основных понятий и сформулировать их свойства, т.к. если мыслимых геометрий много, то в каждой из них должны быть свои основные понятия и аксиомы.

Переход от содержательного к формальному пониманию аксиоматической теории связан с работами Д. Гильберта, который начинает аксиоматическое построение геометрии словами: «Мы имеем три различные системы вещей, называемые точками (А, В, С, …), прямыми (а, Ь, с, …) и плоскостями (); в множестве этих вещей введем некоторые отношения, обозначаемые словами «принадлежит», «между», «конгруэнтность» и т.д.» Не затрагивается не только природа вещей, но и смысл отношений, используются лишь их формальные свойства, составляющие содержание аксиом. Таким образом, осуществляется переход от аксиоматизации содержания к аксиоматизации формы – в одну и ту же форму можно включить различное содержание, т.е. создать различные модели или интерпретации данной аксиоматики.

Сила такого аксиоматического метода в том, что он, во-первых, расширяет число и объем математических дисциплин, во-вторых, связывает воедино такие теории, которые первоначально казались совершенно обособленными, в-третьих, становится методом их развития. Сравнительно за короткий срок современный аксиоматический метод оказал благотворное влияние на обоснование и развитие теории множеств, теоретической арифметики, алгебры, топологии, метрической геометрии, теории вероятностей, а также некоторых разделов естествознания.

Аксиоматический метод – наиболее совершенная разновидность свойственного математике процесса формализации, необходимый его элемент. Под формализацией понимается отвлечение от изменчивости, текучести, подвижности предметов или явлений действительности и сопоставление им некоторых математических конструкций, обладающих устойчивым характером (точка, геометрическая фигура, математический маятник и т.д.). Характерной чертой формализации в математике является появление особой символики, построение логических исчислений, создание различных формализованных языков (теории множеств, математической логики и др.), которые сами становятся зародышами новых понятий и свойств, средством познания новых истин. Таким образом, современный аксиоматический метод состоит из двух частей: 1) абстрагирование теории от конкретных образов и 2) дедуктивное построение теории вне интерпретации на базе какой-нибудь системы аксиом. Предметом многолетней дискуссии в методической литературе являются следующие аспекты отражения аксиоматического метода в школьном обучении математике: а) в какой мере аксиоматический метод может быть использован как способ построения школьного курса математики или отдельных его разделов; б) в каком виде и на каком конкретном материале, на каком этапе обучения возможно ознакомление учащихся с самим аксиоматическим методом; в) в какой форме и в какой мере аксиоматический метод может быть адаптирован в качестве метода обучения.

Методические исследования и практика обучения математике показывают, что как способ построения школьного курса аксиоматический метод в полном объеме не может быть использован в силу возрастных особенностей учащихся. Мы можем осуществить частично только одну его часть – дедуктивное развитие теории, и то не в абстрактной форме, а в определенной конкретной модели (например, так, как решает эту проблему действующая программа по геометрии, о чем мы будем говорить подробно в курсе методики обучения геометрии в школе). Для ознакомления с сущностью аксиоматического метода можно рассмотреть также примеры аксиоматических теорий на конкретном и подходящем материале с учетом уровня развития учащихся (например, теория коммутативной группы или булевой алгебры).

Аксиоматический метод в качестве метода обучения можно использовать, привлекая самих учащихся к построению «маленьких теорий», постепенно расширяющих изучаемую теорию; для вывода новых знаний из уже имеющихся, для установления истинности математических предложений дедуктивным способом, для систематизации знаний учащихся.

1.3. «У математиков существует свой язык – это формулы», – сказала С.В. Ковалевская, а великий физик Гиббс выразился так: «Математика – это язык!». Действительно, разработка искусственного языка символов и формул была величайшим достижением, в значительной мере определившим дальнейшее развитие математики, и сейчас очевидно, что математика – это не только совокупность фактов и методов, но и язык описания фактов и методов самых разных областей науки и практической деятельности.

Математический язык является результатом усовершенствования естественного языка по различным направлениям: а) устранение громоздкости, б) устранение двусмысленности, в) расширение выразительных возможностей естественного языка. Все это достигается его символизацией, применением различных типов переменных, разработкой и использованием определенных правил конструирования различных математических предложений. Математический язык, как и всякий другой, упорядочивается и изучается с помощью семантики (рассматривающей язык с точки зрения содержательного значения его предложений) и синтаксиса (рассматривающего структуру этого языка). Решение задач, возникающих вне математики, предполагает, как мы уже рассматривали выше, перевод этих задач на язык математики и обратно, и знать математику означает уметь ее применять к решению разнообразных задач. Таким образом, обучение математике означает и обучение математическому языку, и использование его для дальнейшего обучения.

Одним из существенных недостатков традиционного обучения математике является то, что у учащихся не формируется понятие о важнейших элементах математического языка, не сочетаются оба подхода (семантический и синтаксический) к его изучению. Отрыв формы от содержания по существу означает отрыв символов и формул математического языка оттого, что они обозначают, и этим объясняются трудности у учащихся при переводе задачи на математический язык, ошибки при чтении математических выражений.

Предметом дискуссии является вопрос об использовании в школьном обучении современного математического языка, т.е. языка теории множеств и математической логики. Мы уже отмечали, что на втором этапе реформы математического образования элементы математической логики (в более широком смысле, включающие и элементы теории множеств) предлагалось считать неотъемлемой частью школьного обучения математики и изучать в тесной связи с собственно математическим материалом на всех этапах обучения. Теоретико-множественный язык с элементами математической логики необходимо вводить постепенно, по мере необходимости, для обозначения и рассмотрения уже известных понятий и их свойств, чтобы.он стал в дальнейшем необходимым компонентом обиходного математического языка и использовался при изучении арифметики, алгебры, геометрии. Такая методика позволяет значительно совершенствовать процесс обучения математике, так как она: 1) повышает идейно – теоретический уровень преподавания, научность и точность изложения изучаемого материала; 2) приближает трактовку основных понятий школьного курса математики к их научной трактовке в современной математике, дает возможность говорить о них современным математическим языком; 3) вырабатывает у учащихся общие подходы к разнообразным фактам школьной математики, умет применять известные свойства к новому содержанию; даёт возможность показать учащимся единство математик; устраняет изолированность отдельных предметов друг от друга; 5) позволяет более полно использовав жизненный опыт учащихся при построении математических моделей; 6) позволяет познакомить учащихся с некоторыми понятиями современной математики, которых не было раньше в школьном курсе.

Мы уже рассматривали роль задач в обучении математике: в традиционном обучении это были задачи тренировочного характера, затем с развитием методов обучения развивалось понятие задачи, и расширялась сфера использования задач в учебном процессе (лекция 7). Так, мы видели, что задачи и упражнения используются на всех этапах формирования понятий, суждений и умозаключений (лекция 10), при решении задач учащиеся обучаются проведению доказательств, овладевают символикой и т.д., то есть обучаются математике. Осуществляя такой путь обучения математике, учитель на каждом этапе процесса усвоения знаний учащимися ставит перед каждой конкретной математической задачей определенные дидактические цели, при достижении которых и осуществляется обучение через задачи.

Приведем в систему методические рекомендации по использованию задач в обучении математике, взяв за основу последовательность процессов усвоения знаний учащимися (см. полный цикл УПД, лекция 1, П.2.4).

На этапе восприятия информации учителю необходимо создать у учащихся мотивы изучения нового и готовность к его восприятию. Для этой цели уместны методы и приёмы проблемно-развивающего обучения, в частности, все приемы создания проблемной ситуации с помощью задач (см. лекцию 7, П. 2.2.); кроме того, необходимы несложные (часто решаемые устно) задачи на повторение, с помощью которых в памяти учащихся восстанавливаются необходимые сведения для изучения нового материала. В отдельных темах и для отдельных учащихся можно дать задачу исследовательского характера (с познавательными функциями), в ходе решения которой появляются новые математические факты.

На этапе осмысления нового материала необходимо организовать использование учащимися анализа, синтеза, сравнения, первичного обобщения, аналогии для выделения существенных признаков, главных идей, установления связей и отношений в изучаемых объектах. Для этой цели уместны задачи с развивающими функциями (основные типы которых отмечены в лекции 10 для второго этапа формирования понятий, суждений и обучения доказательству теорем). Для первичной проверки понимания нового материала в классной и домашней работе используют дифференцированные типовые задачи по теме, а также тесты, типы заданий в которых рассмотрим ниже.

На этапе закрепления используются основные виды задач, также отмеченные для третьего этапа формирования понятий, суждений и обучения доказательству (лекция 10), самостоятельное решение типовых задач (согласно стандарту для уровня обязательной подготовки) по образцу, в сходных условиях, и с переносом знаний в сходные условия; упражнения по овладению алгоритмом или приемом решения вновь изученных задач, в результате которых формируется умение решать типовые (стандартные) задачи. Такие задачи включаются и в домашние задания. На этапе применения знаний решают практические задачи, показывающие применение нового материала в математике и в смежных дисциплинах, технике, быту, профессиональной деятельности. Следует обратить внимание, что на этом этапе в практике обучения часто снова решаются типовые (стандартные) задачи, а такие, которые требуют переноса знаний и способов деятельности, задаются на дом. Но это далеко не всем учащимся посильно, поэтому и нетиповые задачи нужно учить выполнять на занятиях, а домой давать уровневые задания, посильные и интересные разным учащимся. Это – нестандартные математические задачи, задачи с экологическим, экономическим, гуманитарным и т.д. содержанием, составление задач прикладного и межпредметного характера. На этом этапе умение оперировать многими приемами решения математических задач доводится до навыка, и тогда решение прикладных задач не затрудняет учащихся в части применения математического аппарата (вычислений, тождественных преобразований, решений уравнений и неравенств и др.). Навыки формируются на основе многократного применения усвоенных знаний, умений, приемов решения задач, поэтому задачи и упражнения должны составлять тщательно продуманную систему. В этой системе должна быть правильно установлена последовательность задач с учетом индивидуальных возможностей учащихся и принципа «от простого к сложному». В системе должно быть разумное разнообразие задач (кроме типовых задачи исследовательского характера, на развитие мышления и других познавательных процессов, на смекалку и отыскание ошибок, на поиск различных способов решения, на отработку приема решения, «открытые» задачи, составление задач и т.п.), содержаться задачи на применение ранее изученного.

На этапе обобщения и систематизации знаний и способов деятельности с помощью специально подобранной системы задач обобщаются приемы их решения, новые знания и способы деятельности включаются в целостную систему знаний. Особенность математики, заключающаяся в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности разделов, предполагает при решении большинства задач повторение ранее изученного. Поэтому, задачи используются для повторения и систематизации знаний учащихся в конце изучения темы, четверти, года.

На этапе контроля, оценки и коррекции проводится итоговый контроль усвоения знании, сформированности умений и навыков, комплексного их применения, их коррекция и оценка. Как правило, это дифференцированные контрольные работы, а в последнее время – тестирование, дающее возможность оценивать знания учащихся на трех уровнях (см. лекцию 1, П. 2.4).Приведем наиболее распространенные виды тестовых заданий:

I уровень - задания на различение, узнавание, припоминание, понимание, простейшие умения: 1) ответить «верно» или «неверно» данное утверждение; 2) заполнить пропуски (или дополнить группой слов, выражений, числом, геометрической фигурой), в данном утверждении (схеме, рисунке); 3) из предложенных ответов на вопрос терминологического характера выбрать правильный; 4) ответить на вопрос (словаря); 5) перечислить некоторые объекты по памяти; 6) написать условное обозначение (символ) к данному термину; 7) найти на чертеже названные объекты; 8) решить одношаговую задачу.

II уровень - задания на различение и понимание (на более сложном материале), применение знаний по образцу (т.е. на стандартные умения и навыки): 1) из предложенных ответов на задачу выбрать правильный; 2) установить соответствие между данными группами объектов (между объектами и их свойствами, между терминами и символами и т.п.); 3) ответить на вопрос, требующий размышления, обоснования; 4) решить типовую (стандартную) задачу; 5) в данном перечне действий установить последовательность так, чтобы получился алгоритм (прием) решения какой-либо задачи; 7) решить анаграмму и исключить лишнее слово (символ, фигуру, формулу); б) к данному понятию (теореме, правилу) подобрать родственные (или противоположные) по смыслу понятия (теоремы, правила).

III уровень - задания на применение обобщенных и системных знаний, перенос знаний и умений, элементы творчества: 1) решить типовую задачу в нестандартной ситуации; 2) решить нестандартную задачу; 3) составить задачу по некоторым данным; 4) разделить предложенные объекты на группы (классификация) и дать название каждой из них (обобщение); 5) найтиошибку в данном тексте (в решении задачи, в формуле, чертеже); б) составить алгоритм (прием) решения данной задачи и другие.

В системе современных методов обучения математике задачам отводится важнейшая роль, т.к. они активизируют самостоятельную познавательную деятельность учащихся, формируют систему основных математических знаний, умений и навыков, являются ведущей формой учебной деятельности, средством математического развития учащихся. По словам В. В. Давыдова, методическая система учебных математических задач проектирует соответствующий ей тип математического мышления.