Форма № Н - 3.04. Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Протокол № 1 від „ 28 ”серпня 2012 року

Завідувач кафедри математики _____________________ (проф. Волков Ю.І.)

(підпис) (прізвище та ініціали)

„ 28 ” серпня 2012 року

Схвалено методичною комісією вищого навчального закладу за напрямом підготовки (спеціальністю)__ 6.040201. Математика ____________

(шифр, назва)

Протокол № 1 від „ _ 28 _”_ серпня _ 2012 року

Голова _________________ (_ Войналович Н.М.)

(підпис) (прізвище та ініціали)

„ 28 ” серпня 2012 року

Ó __________, 2012 рік

Ó __________, 20__ рік

1. Опис навчальної дисципліни

Примітка.

Співвідношення кількості годин аудиторних занять до самостійної і індивідуальної роботи становить:

для денної форми навчання –31: 41≈ 0, 756 (124 год.: 164 год.)

для заочної форми навчання – 25: 137≈ 0, 182 (50 год.: 274 год.)

2. Мета та завдання навчальної дисципліни

Мета викладання дисципліни.

Головною метою курсу є вивчення основних алгебраїчних систем, теорії систем лінійних рівнянь, лінійних просторів, алгебри матриць, загальної теорії перетворень і виховання загальної алгебраїчної та теоретико-числової культури, необхідної для глибокого розуміння цілей і завдань як основного шкільного курсу математики, так і шкільних факультативних курсів.

Завдання вивчення дисципліни.

Навчити студентів вільно оперувати основними поняттями: теорії систем лінійних рівнянь (СЛР), теорії визначників та матриць і їхніми застосуванням, теорії лінійних просторів, теорії лінійних операторів (ЛО), теорії унітарних та евклідових просторів; теорії квадратичних форм (КФ).

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен

знати: основні поняття теорії СЛР: дослідження; загальний вектор-розв’язок, різні способи розв’язування визначених крамерівських СЛР; зв’язок між розв’язками неоднорідної і відповідної їй однорідної СЛР, рівносильні СЛР, елементарні перетворення СЛР; теорії визначників та матриць і їхні застосування; основні поняття теорії лінійних просторів: арифметичний n -вимірний простір; простір розв’язків однорідної СЛР; фундаментальна система розв’язків однорідної СЛР; лінійна залежність і незалежність системи векторів, базис і ранг системи векторів, доповнення лінійно незалежної системи до базису; підпростори, ізоморфізм лінійних просторів; основні поняття теорії ЛО: матриця ЛО, область значень і ядро, ранг і дефект ЛО; власні значення і власні вектори ЛО, зв’язок між власними значеннями і коренями характеристичного рівняння; ЛО з простим спектром; застосування теорії ЛО до дослідження кривих та поверхонь другого порядку; основні поняття теорії унітарних та евклідових просторів: скалярне множення, ортогоналізація, ортонормовані базиси; ЛО на евклідовому та унітарному просторах; спряжені та самоспряжені ЛО; основні поняття теорії КФ: ранг, індекс, дійсні КФ, додатньо визначені КФ; зведення КФ до головних осей; критерій Сильвестра; застосування теорії КФ до дослідження кривих та поверхонь другого порядку.

вміти: виконувати дії з підстановками, матрицями, обчислювати визначники п -го порядку; виконувати дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній, тригонометричній та показниковій формах та ілюструвати геометрично отримані результати; досліджувати і розв’язувати СЛР, встановлювати зв’язки між розв’язками неоднорідної і відповідної їй однорідної СЛР, знаходити фундаментальну систему розв’язків ОСЛР; досліджувати систему векторів на лінійну залежність, незалежність, знаходити базис і ранг скінченої системи векторів; виконувати дії над підпросторами, знаходити базис простору, доповнювати лінійно незалежну систему векторів до базису простору, ортогоналізовувати систему векторів; будувати ортогональний (ортонормований) базис простору; досліджувати відображення, яке діє у векторному просторі на лінійність, і знаходити матрицю ЛО, область значень і ядро, ранг і дефект ЛО; власні значення і власні вектори ЛО, встановлювати зв’язок між власними значеннями і коренями характеристичного рівняння; вміти виділити ЛО з простим спектром, застосовувати теорію ЛО до дослідження кривих та поверхонь другого порядку; оперувати ЛО на евклідовому та унітарному просторах, виділяти спряжені та самоспряжені ЛО; зводити КФ до канонічного вигляду, обчислювати ранг, індекс КФ, записувати перетворення, за допомогою якого КФ зводиться до канонічного вигляду (метод Лагранжа, метод Якобі, метод ортогональних перетворень); вміти застосовувати теорію КФ до дослідження кривих та поверхонь другого порядку.

3. Програма навчальної дисципліни

Змістовий модуль 1. Системи лінійних рівнянь

Тема 1. Загальні відомості про СЛР – вектор-розв’язок, сумісні (визначені, невизначені), несумісні СЛР. Приклади. Теорема про те, що кожна СЛР, що має два різних розв’язки, має нескінченно багато розв’язків. Рівносильні СЛР, властивості відношення рівносильності. Елементарні перетворення СЛР.

Метод Гаусса розв’язування СЛР.

Тема 2. Перестановки та підстановки. Дії над підста­новками (множення та відшукання оберненого). Симетрична S_n група всіх підстановок n- го степеня. Транспозиції. Інверсії. *Теорема про розклад кожної нетотожної підстановки на добуток inv(α) транспозицій сусідніх елементів. Парність, непарність підстановок. Знак підстановки (декремент). *Альтернативна (знакозмінна) А_п група всіх парних підстановок.

Тема 3. Матриці та дії над ними. Властивості дій над матрицями (додавання і множення на скаляр, протилежна матриця). Транспонована матриця. Множення матриць та його властивості. При­клади. Дії над квадратними матрицями n- го по­рядку. *Кільце матриць n- гопорядку, його характеристика.

Тема 4. Теорія визначників: визначники малих порядків, їх обчислення та зв'язок з СЛР. Приклади. Визначники n -го порядку та їх властивості (рівноправність рядків і стовпців; лінійність та знакозмінність визначника. Елементарні перетворення). Мінор та алгебраїчне доповнення елемента визначника. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця). Приклади. Умови рівності нулю визначника. Способи обчислення визначників. Приклади. Визначник трикутної матриці. Визначник добутку матриць.

Тема 5. Крамерівські СЛР. Взаємно-обернені матриці. Критерій оборотності. Способи знаходження оберненої матриці. Приклади. Матричний спосіб розв’язування СЛР. Теорема Крамера та її застосування.

Змістовий модуль 2. Числові поля. Поле комплексних чисел

Тема 1. Відношення. Прямий добуток двох множин, двох однакових множин, n однакових множин. Приклади. Відношення на множинах, n -арне відношення; область визначення, множина значень; властивості відношень (рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність, транзитивність), графіки відношень. Приклади. Розбиття множини на класи. Фактор-множина. Функціональні відношення. Класифікація функцій (сюр’єктивні, ін’єктивні, бієктивні), їх графіки. Приклади.

Тема 2. Алгебраїчні операції, поняття n-арної операції, заданої на множині А, ранг операції, приклади. Види бінарних операцій (комутативність, асоціативність, дистрибутивність відносно іншої бінарної операції), приклади. Нейтральний (і його єдиність) та симетричний (і його єдиність) елементи. Адитивна і мультиплікативна форми запису бінарних операцій. Приклади. Алгебри. Тип алгебри. Однотипні алгебраїчні структури. Моноїд, група. Кільця (асоціативне кільце з одиницею, комутативне кільце, кільце без одиниці). Область цілісності, поле. Приклади.

Тема 3. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі. Спряжені комп­лексні числа. Властивості комплексно спряжених чисел. Геометрична ілюстрація.

Тема 4. Тригонометрична форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Формула Муавра. Добування кореня з комплексного числа. Двочленні рівняння a xⁿ=b, a, bєC. *Мультиплікативна група коренів з одиниці. Експоненціальна форма комплексного числа.

Змістовий модуль 3. Дослідження систем лінійних рівнянь

Тема 1. Арифметичний n-вимірний лінійний простір. Арифметичні вектори та властивості дій над ними. Лінійна залежність і незалежність системи векторів, властивості. Еквівалентні системи век­торів. Лінійна оболонка, властивості. Приклади. Базис і ранг скінченої системи векторів. Стандартний базис арифметичного векторного простору. Доповнення лінійно незалежної системи до базису.

Тема 2. Ранг матриці, способи обчислення, приклади. Рівність рядкового і стовпцевого рангів матриці. Теорема Кронекера-Капеллi (критерій сумісності СЛР та критерій визначеності сумісної СЛР).

Тема 3. Зв’язок між розв’язками неоднорідної СЛР і відповідної їй однорідної СЛР. Критерій існування ненульових розв’язків однорідної СЛР та критерій визначеності сумісної неоднорідної СЛР.

Тема 4. Системи лінійних однорідних рівнянь, фундаментальна система розв’язків однорідної СЛР. Приклади.

Змістовий модуль 4. Лінійні простори. Унітарні і евклідові простори

Тема 1. Лінійний простір. Підпростір. Критерій підпростору. Перетин підпросторів. Розмірність перетину. Доповнення простору U до простору V. Сума підпросторів. Розмірність суми. Пряма сума підпросторів. Об’єднання підпросторів. При­клади.

Тема 2. Лінійна оболонка системи векторів, її будова. Поняття лінійного многовиду. Приклади. Простір розв’язків однорідної СЛР і лінійний многовид розв’язків неоднорідної системи рівнянь. Координати вектора в різних базисах. Ізоморфізм векторних просторів. Властивості відношення ізоморфізму на множині векторних просторів.

Тема 3. Векторні простори із скалярним множенням. Властивість ортого­нальної системи ненульових векторів. Процес ортогоналізації. Ортогональне допов­нення до базису.

Тема 4. Евклідів векторний простір. Приклади евклідових просторів. Норма вектора, кут між векторами. Нерівність Коші–Буняковського. Унітарний простір.

Змістовий модуль 5. Лінійні оператори. Структура лінійного відображення. Лінійні оператори на евклідовому та унітарному просторах

Тема 1. ЛО, означення та найпростіші властивості. Зобра­ження ЛО матрицею. Приклади. Зв’язок між координатними стовпчиками векторів-прообразів і векторів-образів під дією ЛО. Зв’язок між матрицями ЛО в різних базисах. Приклади. Подібні матриці. Дії над лінійними операторами, їхні матриці. Невироджені ЛО. Повна лінійна група. Образ і ранг, ядро і дефект ЛО векторного простору. Приклади

Тема 2. Структура лінійного відображення. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення. Теорема про вигляд множини власних векторів ЛО. Знаходження власних векторів ЛО, алгоритм, приклади. Теорема про власні вектори ЛО, які належать різним власним значенням. Оператори з простим спектром. Матриця ЛО з простим спектром у базисі із власних векторів. Приклади.

Тема 3. ЛО в евклідовому та унітарному просторах (ортогональні та унітарні ЛО). Ознаки ортогональності (унітарності) ЛО. Матриця ортогонального (унітарного) ЛО. Ортогональні та унітарні матриці та їх властивості. Властивості ортогональних та унітарних операторів (власні значення; φ ·ψ; φ ^-1). *Мультиплікативна група ортогональних (унітарних) операторів. Спряжені ЛО. Самоспряжені та унітарні ЛО та їхні матриці.

Змістовий модуль 6. Квадратичні форми

Тема 1. Білінійні форми. Матриця БФ. Симетричні та кососиметричні БФ. КФ. Матриця КФ. Канонічний вигляд КФ. Індекс і ранг КФ.

Тема 2. Зведення КФ до канонічного вигляду: методи Лагранжа, Якобі, ортогональних перетворень. Зведення КФ до головних осей. Закон інерції. Додатньо означені форми. Критерій Сильвестра.

Тема 3. Застосування КФ до дослідження кривих і поверхонь другого порядку.

4. Структура навчальної дисципліни

5. Теми семінарських занять