Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.

Во всех наших построениях решающую роль играет окружность из пучка двух биссектрис, ортогональная одной из трех исходных окружностей А, В, С. Сейчас мы выразим алгебраически инверсию, которую она осуществляет. Пусть S – биссектриса между А и В, Т – биссектриса между А и С. По теореме о биссектрисах – одна из двух биссектрис между В и С лежит в том же пучке, что S и Т. Обозначим эту биссектрису Н. По теореме об инверсиях в одном пучке – любая композиция S, Т и Н – снова инверсия (и находящаяся в том же пучке). Рассмотрим действие F=T*H*S на окружность А. S(A)=B, H(B)=C, T(C)=A (по определению биссектрис). Следовательно F(A)=A или FAF=A, т.е. F коммутирует (ортогональна) А. Последовательное действие трех биссектрис возвращает А на свое место. Это происходит, какие бы три биссектрисы, существующие между А, В и С мы бы не выбрали. Поскольку мы выбрали Н так, что она в пучке S, T то F – инверсия (действительная или мнимая). F – ортогональна А, т.е. F и если существует неподвижная окружность инверсии F (т.е. F – действительная инверсия), то эта окружность и есть нужная нам окружность из пучка биссектрис ортогональная А, через точки пересечения ее с А и проходит касающаяся А, В, С окружность.

Отсюда мы уже можем сделать полезный вывод: если F=T*H*S – мнимая инверсия, то нужной нам окружности, касающейся А, В, С – не существует, т.к. у F и А – нет точек пересечения, у F – вообще нет неподвижных точек. См. пункт К, часть 2.

Пусть F – действительная инверсия. Воспользуемся равенством F=T*H*S для нахождения точек пересечения F и А (если воспользоваться терминологией ст. 5, то F*A= F=T*H*S*A – биплетная симметрия с концами в искомых точках), т.к. F и А – ортогональные инверсии. Проведем окружность I, ортогональную А, В, С (мы предполагаем, что окружности А, В, С – окружности Лобачевского, если они Римановы, то построение биссектрис не трудно и центры их пучков также легко найти, см. ст. 1). I ортогональна также всем биссектрисам, следовательно I ортогональна и F. Пусть А1 и А2 – точки пересечения I c А, т.к. I и А ортогональны F, то F(A1)=A2. Пусть Х – произвольная точка на А. Т.к. F(X)=T(H(S(X))), то мы можем найти F(X) используя прием, аналогичный рис. 5

Рисунок 6.

(Окружность А, ортогональные ей и друг другу окружности I и F, точки пересечения I и А – А1 и А2, точки пересечения F и А – F1 и F2, точка Х и точка F(X). Окружность W, ортогональная А и проходящая через Х и F(X). Окружность Z, проходящая через точки F1 и F2.)

Окружность W ортогональна F, т.к. проходит через пару сопряженных относительно F точек. Окружности W и I образуют пучок, ортогональный F и А, значит любая окружность, ортогональная W и I проходит через точки пересечения F и А. Проведем эту окружность Z и получим точки искомые точки F1 и F2, через которые и можно провести окружности, касающиеся А, В, С. Теперь покажем, как строить точку F(X)=T(H(S(X))).

Рисунок 7.

(Три непересекающиеся окружности А, В, С. Точка Х на окружности А, окружность О1, ортогональная А и В, пересекающая В в точках В1 и В2. Окружность О2, проходящая через В1 и ортогональная В и С – она касается окружности О1 в точке В1. Точки пересечения О2 с С – С1 и С2.)

S(X) – или В1 или В2. Мы можем выбрать произвольно из этой пары точку, пусть это будет В1. Проведем через В1 описанную на чертеже окружность О2 ортогональную В и С, пересекающуюся с С в точках С1 и С2. Н(S(X)) это или С1 или С2, мы можем выбрать произвольно. Проведем теперь через три выбранные точки X, Н(Х) и S(H(X)) окружность W. Она ортогональна S и Н поэтому ортогональна и T и F, поэтому F(X) лежит на W. Но F(X) лежит и на А, следовательно F(X) – точка пересечения W и А. Если F(X)=X, то Х – искомая точка, мы нашли неподвижную точку, W будет касаться A и будет искомой окружностью, касающейся А, В, С. Если же W не касается А, то точка пересечения W c А, отличная от Х и будет искомой F(X). Построение удобно тем, что не требует выбора третьей биссектрисы и по сути, не требует и проведения биссектрис. Они присутствуют лишь в доказательствах. Кроме того мы привели простой способ построения окружностей, изогональный к данным А, В, С.