Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.

Ранее для доказательства теорем нам было достаточно заметить, что те или иные точки или окружности симметричны относительно некоторой инверсии. Теперь нам понадобится рассматривать композиции инверсий, то есть последовательное применение нескольких инверсий.

Нам понадобится следующий факт: если отображение f – композиция нескольких инверсий и f оставляет неподвижными какие-то три точки, то f – или оставляет неподвижными все точки плоскости, или f – инверсия. Полное доказательство будет дано в ст. 6., пока мы будем пользоваться этим фатом без доказательства и обозначим его для краткости восклицательным знаком (!). Доказательство основано на том, что если есть три неподвижные точки, то неподвижны и все точки на окружности, проходящей через эти три точки. А раз есть окружность, все точки которой неподвижны, то f может быть только инверсией относительно этой окружности (или же «неподвижным движением, нулем»). сравним это с движениями на обычной плоскости, симметриями прямых. Если при каком-то движении остаются неподвижными все точки на какой-то прямой, то это движение – или симметрия относительно это прямой, либо – тождественное движение. Если же при движении есть две неподвижные точки, то неподвижны и все точки на прямой, проходящей через них.

Из этого факта мы сейчас извлечем много теорем про окружности.

Напомним ст. 2, рисунок 8.

Рисунок 19.

(точки А, В, D, С лежащие в порядке перечисления – по часовой стрелке – на одной окружности)

Разбить на пары точки А, В, С, D можно тремя способами. Каждому разбиению на пары соответствует инверсия, так, что в паре точек – образ и прообраз точки при этой инверсии. Обозначим эти инверсии f1, f2, f3. Им соответствуют такие разбиения:

(А, f1(A)=B), (C, f1(C)=D)

(A, f2(A)=C), (B, f2(B)=D)

(A, f3(A)=D), (B, f3(B)=C)

Заметим, что т.к. пара (A, D) разделяет пару В, С то последняя инверсия, f3 – мнимая. (прямые (А, D) и (В, С) пересекаются в центре инверсии f3 и он разделяет точку А и ее образ D=f3(A).

Докажем, пользуясь (!), что любые две рассматриваемые инверсии – коммутируют друг с другом. (Коммутирующими называют отображения или операции, если их результат не зависит от порядка исполнения. т.е. f и g коммутируют равносильно тому, что f(g(x))=g(f(x)) для всех х.)

Рассмотрим например инверсии f1 и f2.

Покажем, что f1(f2(A))=f2(f1(A)). В самом деле: f2(A)=C, f1(C)=D; f1(A)=B, f2(B)=D.

Совершенно аналогично проверяем, что f1(f2(B))=f2(f1(B)), f1(f2(C)=f2(f1(C), f1(f2(D)=f2(f1(D).

То есть f1 и f2 коммутируют между собой на четырех точках: А, В, С, D. аналогично показывается, что все f1, f2, f3 – коммутируют между собой на этих точках. Теперь немного модифицируем (!). Сформулируем его так: «если два отображения, полученные композицией инверсий совпадают на трех точках, то они либо совпадают на трех точках, либо отличаются на инверсию относительно окружности, проходящей через эти три точки.

Обозначим эти точки Х1, Х2, Х3. Нам дано: f(X1)=g(X1), f(X2)=g(X2), f(X3)=g(X3). Пусть h – обратное к f отображение (т.е. h(f(X))=X=f(h(X)) для всех точек Х, h – перемещенные f обратно, на исходные позиции и потому их композиция – ничего не меняет). Рассмотрим отображение h(g(X)). Легко видеть, что h(g(X1))=Х1, h(g(X2))=Х2, h(g(X3))=Х3.

Если h(g(X))=X то f(X)=X, т.е. f и g совпадают на всех точках. Если же h(g(X))=I(X) где I – некоторая инверсия то f и g отличаются на инверсию.

Применим эту модификацию к функциям f1(f2(X)) и f2(f1(X)). Мы показали, что они совпадают не только на трех, но даже на четырех точках А, В, С, D. Значит, они совпадают на всех точках, или отличаются на инверсию. Можно доказать, что если преобразование получено четным числом инверсий (такие преобразования называют собственными), то оно не может быть получено нечетным числом инверсий (аналогичный факт имеет место и при выполнении симметрий относительно прямых. И причина одна и та же: инверсии, как и симметрии относительно прямой – меняют оринетацию фигур на противоположную). Поэтому f1(f2(X)) и f2(f1(X)) не могут отличаться на инверсию: обе они состоят из двух симметрий). Можно же доказать требуемое иначе. инверсия относительно окружности меняет местами ее внутренность и внешность. Но отображения f1 и f2 обе преобразуют внутренность окружности, проходящей через А, В, С, D во внутренность, а внешность – во внешность. Значит и их композиция тоже. Значит их композиция не может отличаться на инверсию, относительно этой окружности. Что и требовалось.

Если же мы рассмотрим f1(f3(X)) и f3(f1(X)) то заметим, что f3 переводит внутренность этой окружности во внешность (таково свойство мнимой инверсии!) а f1, как было уже сказано – внешность во внешность, а внутренность ее во внутренность. Поэтому обе сравниваемые композиции переводят внутренность этой окружности во внешность. Но отсюда следует, что они также не могут отличаться на инверсию относительно окружности, проходящей через А, В, С, D. Это могло бы иметь место, если бы одна композиция переводила бы внешность во внутренность, а другая – внутренность во внешность, в этом случае – инверсия бы вернула все на свои места.

Итак мы доказали что: f1(2(X))=f2(f1(X)), f1(3(X))=f3(f1(X)), f3(2(X))=f2(f3(X)). Иначе говоря, что все три инверсии коммутируют между собой. Превратим это несколько абстрактно звучащее утверждение в наглядную теорему про окружности. Назовем эту теорему «теоремой о двух ортогональных окружностях или теоремой о восьми окружностях». (Почему именно восьми, станет ясно из рисунка 20.) Рассмотрим отображение f1(f2(f1(f2(X)))). Т.к. f1 и f2 коммутируют, то оно равно f1(f1(f2(f2(X)))) а поскольку любая инверсия, дважды примененная – возвращает все точки на плоскости на свои места, то есть дает тождественное движение, то рассматриваемое отображение – также возвращает все на свои места. Теперь мы построим отображение f1(f2(f1(f2(X)))) пользуясь теоремой о пучках.

Рисунок 20.

(Четыре точки А, В, С, D – лежащие на одной окружности – как на рис. 19. Точка Х, не лежащая на этой окружности. Пара окружностей, проходящая через Х. Одна из них проходит еще и через А, С, другая через В, D. вторая точка их пересечения Y. Пара окружностей проходящая через Y. Одна из них проходит еще через А, В, другая – через С, D, вторая точка их пересечения Z. Пара окружностей, проходящая через Z.. Одна из них проходит еще через А, С другая – через В, D, вторая точка пересечения – Н. Пара окружностей, проходящих через Н, одна из них проходит еще через А, В, другая – через С, D. Вторая точка их пересечения, Х – та самая, с которой мы начали построение!)

Теорема о восьми окружностях и утверждает, что наше построение замкнется, то есть мы обязательно вернемся в точку Х. Доказательство. Из второй части ст. 2 (или теоремы о пучках) следует, что Y=f1(X), Z=f2(f1(X)), H=f1(f2(f1(X)). Вторая точка пересечения окружности, проходящих через H и А, В с окружностью, проходящей через Н и С, D будет f2(f1(f2(f1(X)))). Но как было показано, f2(f1(f2(f1(X))))=Х для всех Х. Следовательно наше построение замкнется в той точке, откуда началось, что и требовалось доказать.

Сформулируем теорему чуть иначе:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, лежащие на одной окружности. Кроме того нам известно, что все четверки точек: (Х, А, С, Y), (X, B, D, Y), (Z, C, D, Y), (Z, A, B, Y), (Z, A, C, H), (Z, B, D, H) – лежат каждая на своей окружности. Тогда, утверждает теорема, на одной окружности лежат точки (Н, A, B, X), а на другой (H, C, D, X).

Переведем дух и рассмотрим композицию h(X)=f1(f2(f3(X))). Заметим, что h(h(X))=X (иначе говоря, что h(X) – инволютивно). В самом деле: h(h(X))=f1(f2(f3(f1(f2(f3(X)))))). Поскольку f1, f2, f3 все коммутируют между собой левая часть приводится к виду f1(f1(f2(f2(f3(f3(X)))))). Но f1(f1(X))=X, f2(f2(X))=X, f3(f3(X))=X поэтому вся левая часть равна Х. Значит h(h(X))=X. Итак, h(X) – инволютивно. Покажем, что h – это инверсия относительно окружности, проходящей через А, В, С, D. Сначала покажем, что h неподвижна на точках А, В, С, D.

f1(f2(f3(А)))=f1(f2(D))=f1(B)=A. Аналогично получаем для точек В, С, D. Значит h – или инверсия, или оставляет неподвижными все точки плоскости. Рассматривая внешность и внутренность окружности, проходящей через А, В, С, D видим, что h переводит внутренность этой окружности во внешность (f1 и f2 переводят внутренность во внутренность, а f3 – во внешность. Значит их композиция переводит внутренность во внешность, что и требовалось). Значит h – инверсия, относительно окружности, проходящей через А, В, С, D. (Мы могли получить это и воспользовавшись тем, что h – композиция трех инверсий, а композиция нечетного числа инверсий – не может оставлять неподвижными все точки). Напомним, что раз f1, f2, f3 все коммутируют между собой, то h(x)= f1(f2(f3(X)))= f2(f1(f3(X)))= f2(f3(f1(X))) и так далее, можно переставлять операции в любом порядке.

Назовем доказанную теорему «теоремой о четырех ортогональных (или коммутирующих) инверсия» (три инверсии это f1, f2, f3, а четвертая – h= f1(f2(f3(X)))). Заметим, что раз h(X) инверсия, относительно окружности, то, если A1, B1, C1, D1 – какие-то другие точки на той же окружности, что и А, В, С, D то h(X) будет той же самой точкой, иначе говоря, h(X) не зависит от положения точек А, В, С, D на окружности. проиллюстрируем эту теорему и сформулируем ее более «геометрично».

Рисунок 21.

(Окружность h на которой лежат точки А, В, С, D, точка Х вне этой окружности, пара окружностей, проходящих одна через Х, А, С другая – через Х, B, D их вторая точка пересечения Y. Пара окружностей, проходящих одна через Y, C, D, а другая – через Y, A, B их вторая точка пересечения Z, пара окружностей, проходящая через Z, C, B, а другая – через Z, A, D их вторая точка пересечения Р)

Согласно второй части ст. 2 Y=f1(X), Z=f2(f1(X)), P=f3(f2(f1(X)))=h(X) (последнее равенство только что доказано нами). Поэтому каковы бы ни были точки А, В, С, D лежащие на окружности h точка Р есть образ точки Х при инверсии относительно h.

Окончательно сформулируем теорему о четырех ортогональных окружностях в «геометрическом виде».

Пусть А, В, С, D – четыре произвольные точки на данной окружности h. Х – произвольная точка вне этой окружности и все перечисленные четверки точек – лежат на одной окружности (каждая четверка, разумеется, на своей окружности). (X, A, C, Y), (X, B, D, Y), (Y, C, D, Z), (Y, A, B, Z), (Z, A, D, P), (Z, B, C, P) – тогда точка Р есть образ точки Х при инверсии относительно h, т.е. P=h(X), каковы бы ни были А, В, С, D, лежащие на h.