Дополнение о прямых и точках на плоскости.

Как пример пучков, рассмотрим пучки на обычной евклидовой плоскости. Пучком прямых здесь называется совокупность прямых, проходящих через фиксированную точку плоскости или совокупность параллельных прямых.

Рисунок 16.

(Три прямые А1, А2, А3, пересекающиеся в одной точке Р)

Рассмотрим пучок прямых, проходящих через точку Р. Нетрудно показать, что последовательное выполнение двух симметрий относительно А2 и А1 (это обозначается А1*А2) есть поворот на удвоенный угол между ними. Если угол между А1 и А2 соразмерим с pi то последовательное выполнение этого поворота в конце-концов приведет любую точку Х обратно а ее образы при этих поворотах образуют вершины правильно многоугольника. Если же это угол не соразмерим с pi, то под действием поворота Х будет двигаться по окружности с центром в Р, постепенно заполняя ее всюду плотно.

Покажем, что А1*А2*А3 – (композиция трех симметрий относительно пересекающихся в одной точке прямых) – симметрия относительно прямой, проходящей через их точку пересечения. А1*А2 – это поворот на удвоенный угол между прямыми, центр поворота Р. поэтому А1*А2 дает тот же поворот, что и композиция В*А3 если угол между В и А3 равен углу меду А1 и А2 и угол отложен в том же направлении.

А1*А2=В*А3 следовательно (А1*А2)*А3=(В*А3)*А3=В*(А3*А3)=В (мы можем раскрывать скобки, когда считаем композиции симметрий или произвольных преобразований, и одна симметрия, дважды примененная – ничего не изменяет). Итак А1*А2*А3=В, что и требовалось.

Рисунок 17.

(Прямые А1, А2, А3 и В, угол между А1 и А2 равен углу между В и А3 и отложен в том же направлении)

Рассмотрим теперь пучок параллельных прямых.

Рисунок 18.

(Три параллельные прямые А1, А2, А3 и параллельная им В, на том же расстоянии от А3, что АА1 от А2)

А1*А2 – это параллельный перенос на удвоенное расстояние между прямыми А2 и А1 в направлении перпендикулярном этим прямым. Совершенно аналогично предыдущему случаю вводим прямую В так, чтобы А1*А2=В*А3 (отложив В на том же расстоянии от А3, что между А2 и А1 и в той же стороне). Точно также как в предыдущем случае А1*А2*А3=В.

Заметим, что между пересекающимися прямыми есть угол, а между параллельными – угла нет (или он равен нулю всегда), но можно измерить расстояние.

Интересно, что композиция трех точечных симметрий – всегда снова точечная симметрия. Это тривиально доказывается:

1. Композиция двух точечных симметрий относительно точек А и В есть параллельный перенос на удвоенный вектор с началом в оной точке и концом в другой.

Рисунок 19.

((Произвольная точка Х, точки А(Х) и В(А(Х)). в этом треугольнике точки А, В – лежат посередине сторон и потому прямая (А, В) параллельна прямой (Х, В(А(Х))))

Вектор с началом в Х и концом В(А(Х)) есть удвоенный вектор с началом в А и концом в В. Что и требовалось. еще заметим, что точечная симметрия есть композиция симметрий относительно перпендикулярных прямых, пересекающихся в этой точке.

Рисунок 20.

(Перпендикулярные прямые А и В, пересекающиеся в точке Р, точка Х и точки А(Х), В(А(Х))=Р(Х).

А как выглядела бы наша теорема о пучках, если попытаться перенести ее на прямые?

Даны четыре прямые А, В, С, D. Пучки (А, В) и (С, D) – соединимы. Следовательно и пучок (В, С) и пучок (А, D) – соединимы и пучки (А, С) с (В, D) – соединимы. Это – верно, но бессодержательно, т.к. на плоскости соединимы все пучки прямых (за одним исключением), т.к. всегда есть прямая, проходящая через центры пучков (точки пересечения прямых пучка). Или, если одни из пучков – параллельные прямые – существует прямая, параллельная им и проходящая через центр второго пучка. Единственный пример несоединимых пучков в данном случае – это два пучка параллельных прямых.

Рисунок 21.

(одно семейство параллельных прямых А1, А2, А3 и второе семейство параллельных прямых В1, В2, В3 при этом А1 не параллельно В1)

Пучки несоединимы, т.к. нет прямой параллельно одновременно А1 и В1.