Четыре касающиеся друг друга окружности.

Есть какая-то притягательность в рисовании четырех касающихся друг друга окружностей. многие делали это в детстве. По крайней мере – если нарисованы три, так и тянет дорисовать четвертую. Нарисуем и мы.

Рисунок 27.

(Четыре касающихся друг друга окружности А, В, С, D. (D – втиснуто между тремя другими). Шесть точек их касания между собой и три окружности, проходящие через эти точки касания. Построение этих трех окружностей описано ниже)

Обозначим 6 точек касания с помощью касающихся в этих точка окружностей. Точка АВ (или ВА) – точка касания окружностей В и А и т.п. Эти шесть точек АВ, АС, СD, СВ, DВ, АD – обладают рядом замечательных свойств. Например АВ, АD, DC, CB – сами лежат на одной окружности. Доказательство: ведь эти четыре окружности касаются друг друга по цепочке. Рассмотрим инверсию I, меняющую местами окружности А и С. Окружности В и D при этом останутся неподвижными (т.к. они касаются их обеих) I(B)=B, I(D)=D. Значит I(AB)=(CB), I(AD)=CD, т.е. в перечисленной четверке точек есть две пары сопряженных относительно I, следовательно эта четверка лежит на одной окружности. что и требовалось. Можно провести три таких окружности, они обозначены на рис. 27.

Сгруппируем теперь шесть точек касания иначе. Отбросим из четырех окружностей какую-то, например А. Останутся три окружности, касающиеся друг друга в трех точках. Проведем через них окружность, обозначим ее SA. по первой теореме в этой статье – она ортогональна всем трем оставшимся окружностям B, C, D. Аналогично построим окружности SB, SC, SD (отбросив одну окружность и проведя окружность через три точки касания оставшихся между собой).

Рисунок 28.

(изображены исходные окружности A, B, C, D и построенные окружности SA, SB, SC, SD)

Докажем, что все четыре окружности SA, SB, SC, SD – касаются друг друга!

Рассмотрим, например SA и SB. Первая окружность проходит через BC, CD, и DB (точки касания окружностей В, С, D), вторая через АС, СD, и AD (точки касания А, С, D) Покажем, что в точке СD окружности SA и SB – касаются. В самом деле, SA и SB по построению ортогональны С (и D тоже). Но если две окружности ортогональны третьей и имеют на ней общую точку – то они касаются друг друга в это общей точке. Это было доказано в комментарии к рис. 25. Теперь докажем чуть-чуть иначе:

Рисунок 29.

(Окружность С, точка СD касающиеся в этой точке окружности SA, SB, касательная прямая в точке СD к С и прямая, касающаяся SA в точке СD)

Касательная к SA в точке CD ортогональна касательной к С в этой точке и касательная к SB ортогональна к этой же касательной в этой же точке (т.к. обе окружности ортогональны к С). Значит касательные к SA и SB совпадают в точке СD. Значит SB и SA касаются друг друга в точке CD. Что и требовалось.

Проведем теперь окружность Е, касающуюся А, В, С – охватывая их, как лассо.

Рисунок 30.

(исходные окружности А, В, С, D и охватывающая их Е)

Точки касания с Е обозначим АЕ, ВЕ, СЕ. Заметим, что Е симметрично с D относительно окружности, проходящей через АВ, АС, СВ, ранее мы обозначили эту окружность SD. Точки АЕ, АС, АD и AB (все лежащие на одной окружности А) образуют «гармоническое отношение» (одно из важнейших понятий проективной геометрии и геометрии окружности). в других статьях мы поговорим подробней об этом отношении, по же замечу, что из многочисленных определений гармонического отношения это – нагляднейшее. Заметим еще, что точки АВ, АD, DC, CB (лежащие. как показано выше на одной окружности)– так же образуют гармоническое отношение).

Мы еще вернемся к изучению 4 касающихся друг друга окружностей и шести точек их касания в других статьях. пока же рассмотрим: