Четыре касающиеся друг друга сферы.

Три касающиеся друг друга окружности имеют три точки касания. Эти три точки касания заведомо лежат на одной окружности, т.к. через три любые точки можно провести единственную окружность. 4 касающиеся друг друга сферы имеют шесть точек касания. 6 точек в пространстве вовсе не обязательно лежат на одной сфере (сферу задают 4 точки не лежащие на одной окружности). Докажем, что все 6 точек касания 4 сфер – лежат на одной сфере. Нам потребуются две леммы.

1. Если сферы А, В, C, D касаются друг друга по цепочке (не разделяя друг друга), то точки их касания лежат на одной окружности.

2. Три взаимно пересекающиеся в 6 точках окружности лежат на одной сфере.

Первое можно доказать, рассматривая инверсии в пространстве, аналогично тому, как мы поступали, рассматривая 4 касающиеся друг друга по цепочке окружности. Но можно доказать иначе. Пусть А касается В, В касается С, С касается D, D касается А. Точки касания обозначим соответственно АВ, ВС, СD, DA. Проведем через эти четыре точки касания какую-нибудь сферу S. Она пересечет сферу А по окружности, обозначим эту окружность SA, сферу B по окружности SB, сферу С по окружности SC, сферу D по окружности SD. Окружности SA, SB, SC, SD касаются друг друга по цепочке в тех же точках, что и сферы А, В, С, D. Значит, эти точки лежат на одной окружности (т.к. точки касания построенных окружностей – лежат на одной окружности). что и требовалось.

Докажем 2. Две пересекающиеся окружности задаются четырьмя точками (две точки пересечения и еще по одной точке на каждой окружности). Проведем через эти четыре точки сферу, обе пересекающиеся окружности лежат на ней. Третья окружность по условию, пересекается с этими двумя в разных точках, поэтому имеет с этой сферой 4 общие точки, значит – лежит на этой сфере. Что и требовалось.

Теперь докажем, что шесть точек касания сфер А, В, С, D – лежат на одной сфере. Для доказательства мы используем построение, аналогичное рис 27. Мы будем группировать сферы А, В, С, D так, чтобы они образовывали цепочку, точки касания будут лежать в каждом случае – на одной окружности, эти окружности пересекаются (в точках касания сфер). Поэтому окружности, а значит и точки касания сфер – лежат на одной сфере. Точки касания сфер будем обозначать аналогично тому, как обозначали точки касания окружностей. Именно: точки АВ, ВС, CD, DA – на одной окружности S1, АС, СD, DB, BA – на одной окружности S2, AD, DB, BC, CA – на одной окружности S3.

Рассмотрим три окружности S1, S2, S3. S1 пересекается с S2 в точках CD, BA. S1 пересекается с S3 в АD и ВС. S2 пересекается с S3 в АС и DB. По лемме 2 S1, S2, S3 лежат на одной сфере. Значит на одной сфере лежат и все точки касания А, В, С, D. Обозначим эту сферу S. Если провести ее и изобразить ее пересечение со сферами А, В, С, D то получим рисунки 27 и 28. S ортогональна всем четырем исходным сферам. Но это мы здесь доказывать не будем.