Пучки окружностей

Мы уже несколько раз сталкивались с понятием «пучок окружностей». Это обобщение семейства окружностей, пересекающихся в одних и тех же двух точках. Проще всего его пространственное определение. Пусть в пространстве дана прямая А и сфера S. Окружности, которые высекают на сфере S всевозможные плоскости, проходящие через А – называются «пучком». Мы видели, что если А пересекается со сферой, то все эти окружности пересекаются в двух точках.

Рисунок 9.

(несколько окружностей, пересекающихся в двух точках)

Такой пучок называют «действительным пучком». Точки пересечения окружностей называют «центрами пучка».

Если А касается сферы то получается

Рисунок 10.

(несколько окружностей, касающихся друг друга в одной точке)

Этот случай называется «пучком касающихся окружностей». Точка касания называется центром пучка.

Если же прямая не имеет общих точек со сферой, то получается

Рисунок 11.

(несколько окружностей, равномерно вложенных одна в другую, напоминает сгущение линий у пары глаз человека)

Такой пучок называется «мнимым».

Пространственное определение удобно объединяет все эти случаи. Но оно не очень удобно для доказательства теорем. Поэтому я сейчас дам и другое определение пучков окружностей. Первые два случая (рисунки 9. и 10.) легко определить просто как семейство окружностей, имеющих одинаковые общие точки с двумя данными. В третьем случае (рисунок 11.) окружности не имеют общих точек. Но есть пара точек Р и Q, такие, что любая окружность I, лежащая в пучке – меняет их местами при инверсии (иначе говоря, эти точки инверсно сопряжены относительно любой окружности пучка) I(P)=Q. Как найти эти точки? (Если известны какие-то две непересекающиеся окружности А и В мнимого пучка).

Инвертируем В в А, полученное в В, затем снова в А, затем в В и так далее. Мы получим наборы стягивающихся к точкам окружностей (как бы отражения в двух зеркалах).

А, А(В), А(В(А)…стягивается к точке внутри А.

В, В(А), В(А(В)… стягивается к точке внутри В.

Эти точки стягивания и будут точками P и Q. Точки Р и Q называются центрами мнимого пучка.

Рисунок 12.

(Несколько описанных стягивающихся окружностей)

Как расположены центры окружностей этого пучка?

Инверсия меняет местами Р и Q поэтому ее центр лежит на прямой (P, Q), чем даль центр от Р и Q тем больше радиус окружности. Если же центр лежит между Р и Q то есть мнимая инверсия, меняющая местами Р и Q. Радиус инверсии равен корню квадратному из произведения |O, P|*|OQ|. Заметим, что из любой точки плоскости можно провести одну и только одну окружность, лежащую в данном пучке. (если эта точка не совпадает с P или Q). Это можно показать, просто указав радиус и центр такой окружности с помощью элементарных вычислений. А можно по-другому, используя «непрерывность» изменения окружностей пучка. Мы можем считать, что окружности пучка изображают процесс возникновения окружности в точке Р, ее постепенного увеличения и затем стягивания к точке Q. Видоизменяясь так, окружность проходит через все точки плоскости. Заметим, что это свойство (из любой точки плоскости, не совпадающей с центром пучка, можно провести одну и только одну окружность данного пучка) – верно для пучков всех трех типов.

Также для пучков всех трех типов верно, что композиция инверсий относительно трех окружностей пучка – есть снова инверсия относительно какой-то окружности пучка. Т.е. если А, В, С – окружности одного пучка, то существует такая окружность D в этом пучке, что А(В(С(Х)))=D(Х) для любой точки Х. Это свойство можно взять за определение пучка окружностей, подробней мы его разберем далее (здесь и в следующих статьях).

Отметим еще, что пучок окружностей можно определить как совокупность окружностей, ортогональных двум данным.

1. Если данные окружности А и В не имеют общих точек, то совокупность ортогональных им окружностей образует действительный пучок.

Рисунок 13.

(не имеющие общих точек окружности А и В, ортогональные им окружности О1, О2, О3)

О1, О2, О3 все проходят через точки Р и Q такие, что А(P)=Q и В(Р)=Q (т.е. P и Q являются центрами мнимого пучка, заданного окружностями А и В). Мы видим, что каждая окружности мнимого пучка ортогональна каждой окружности действительного пучка и наоборот. Такие пучки называются «сопряженными». Они создают своеобразную сетку координат. (Указанные свойства нетрудно доказываются, чтобы не уводить внимание в сторону это будет сделано не здесь, а в следующих статьях).

2. Если две исходные окружности А и В касаются в точке Р, также касаются друг друга в точке Р, касаются они и прямой, ортогональной общей касательной А и В.

Рисунок 14.

(касающиеся друг друга окружности А и В, их общая касательная, ортогональные им окружности О1, О2, О3, их общая касательная)

Опять-таки пучок, в котором лежат А и В и пучок ортогональных им окружностей называют «сопряженными пучками». совместно они задают сетку координат, напоминающую, как и в прошлом случае, изображение силовых линий какого-то физического поля.

3. Если же окружности А и В пересекаются в точках P и Q, то ортогональные им окружности – это мнимый пучок с центрами в P и Q.

Рисунок 15.

(пересекающиеся окружности А и В, ортогональные им окружности О1, О2, О3)

Этот случай был рассмотрен в п. 1

Теперь повторим еще раз обобщенную формулировку теоремы о шести окружностях:

Если есть три окружности А, В, С и окружность D лежит в одном пучке с А и В, а окружность Е в одном пучке с В и С то существует окружность F лежащая одновременно и в одном пучке с Е и D и в одном пучке с А и С. Если все указанные пучки действительны (т.е. мы имеем дело семействами пересекающихся окружностей), то утверждение означает то, что точки пересечения окружностей Е и Д и точки пересечения А и С – лежат на одной окружности. Именно с этой формулировки мы и начали изучать теорему о шести окружностях.

Мы можем сформулировать ее и иначе, используя часто встречавшееся уже разбиение на пары. Только сейчас мы разбиваем на пары не точки, а четыре окружности А, В, С, D.

Если при одном разбиении на пары, напр. (А, В) и (С, D) пучки окружностей, заданные этими парами соединимы, то и при любом другом разбиении на пары – будут соединимы образуемые этими парами пучки окружностей. То есть пучок (А, С) соединим с пучком (B, D), а пучок (А, D) с пучком (В, С).