Перпендикуляр, опущенный на окружность.

Известно, что из данной точки на данную прямую можно провести один и только один перпендикуляр. А через данную точку Х можно провести бесчисленное множество окружностей, ортогональных данной окружности А.. Если окружность В проходит через Х и ортогональна А, то А(Х) – снова лежит на В – это следует из сказанного ранее при описании рис. 14. Поэтому все окружности ортогональные А и проходящие через Х, проходят также и через А(Х).

Рисунок 15.

(Окружность А, пара сопряженных относительно нее точек Х, и А(Х), несколько окружностей, проходящих через эту пару точек)

Также верно, что если окружность проходит через пару сопряженных с А точек, то она ортогональна А. Это можно выразить и так: если одна точка окружности В при инверсии относительно А лежит на В, то и все точки окружности В при инверсии относительно А – снова лежат на В и вся окружность В при инверсии относительно А – переходит в себя А(В)=В. Это как и многие другие свойства инверсии я оставляю без доказательства, т.к. их легко найти в любом хорошем учебнике геометрии.

А вот через две точки Х1 и Х2 можно провести одну и только одну окружность ортогональную данной окружности А. В отличие от предыдущего, это мы сейчас докажем. случай когда Х1 и Х2 лежат на окружности А описан ранее (рис. 14). Пусть хотя бы одна из точек, напр. Х1 не лежит на А. Тогда А(Х1) не= Х1. проведем окружность через три точки: А(Х1), Х1 и Х2. Она будет ортогональна А т.к. проходит через пару сопряженных относительно А точек: Х1 и А(Х1). С другой стороны, всякая окружность, проходящая через Х1 и ортогональная А – проходит и через А(Х1). Поскольку она по условию проходит и через Х2, а через три точки проходит только одна окружность – то искомая окружность – единственна. Также она проходит и через А(Х2).

Рисунок 16.

(Окружность А, пара точек Х1 и Х2 и сопряженные с ними точки А(Х1) и А(Х2), окружность проходящая через все эти четыре точки и ортогональная А)

Итак мы доказали, что через пару точек Х1 и Х2 можно провести одну и только одну окружность ортогональную данной. Также по ходу дела мы доказали, что если отразить инверсно любые две точки относительно произвольной окружности А, то две исходные точки и их образы – лежат на одной окружности (ортогональной А). В дальнейшем в этой статье вместо слов " проведем через пару точек окружность, ортогональную А" буду говорить " опустим из пары точек перпендикуляр на А" (по аналогии с перпендикуляром к прямой).

Отметим без доказательств еще следующие свойства инверсии. Пусть есть окружность В и пара сопряженных относительно нее точек Х и Y. Тогда образы точек Х и Y при инверсии относительно произвольной окружности А, будут сопряжены относительно образа окружности В при инверсии относительно A. Это можно записать и так: Если Y=В(Х), и С=А(В) то А(Y) и А(Х) сопряжены относительно А(В). Точно также, если Х и Y – не точки, а сопряженные относительно В окружности: их образы после инверсии относительно произвольной окружности А будут сопряжены с образом В при инверсии относительно А.

Дадим еще определение мнимой инверсии. Оно не понадобится нам в этой статье, но будет очень важно в следующих. Вернемся к определению инверсии и рис. 8. Все сохраняется неизменным, кроме одного пункта: Точка О, центр окружности А будет разделять сопряженные при мнимой инверсии относительно А точки Х и Y. Свойства мнимой инверсии во многом отличаются от свойств обычной инверсии: например при мнимой инверсии точки, лежащие на А не остаются неподвижными, а отражаются симметрично относительно центра окружности А. можно представлять мнимую инверсию как композицию: сначала осуществляется обычная инверсия относительно А, а потом – симметрия относительно центра А.

Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)

Пусть все три исходные окружности А, В, С пересекают друг друга, причем третья окружность разделяет точки пересечения двух других (см. рис. 4). Выберем среди восьми областей, на которые окружности разбивают плоскость ту, которая лежит внутри всех окружностей (она пронумерована цифрой 1) и построим окружность, лежащую в этой области и касающуюся трех исходных. Для это поступим, как и было сказано в начале статьи аналогично построению окружности, вписанной в треугольник. Выберем те биссектрисы окружностей А, В и С – которые проходят через область 1. Например проведем биссектрисы между А и В и между В и С. Одна точка пересечения будет лежать в области 1, а другая в области 8 (вне всех окружностей). по свойству биссектрис, которое верно и для биссектрис окружностей, биссектриса между А и С также пройдет через эти две точки. Обозначим точки пересечения биссектрис, проходящих через область 1 Х1 и Х2.

Рисунок 17.

(Три исходные окружности А, В, С, биссектрисы между ними, проходящие через область 1, точки пересечения этих биссектрис Х1 и Х2)

Теперь, как и в случае с треугольником, опустим перпендикуляры из этих точек на окружности А, В, С. каждый такой перпендикуляр пересекает окружность (которой он перпендикулярен) в двух точках. Одна из этих точек лежит на границе области 1, другая – на границе области 8. Обозначим точки пересечения перпендикуляра на А – А1 и А2, на В – В1 и В2, на С – С1 и С2. причем пусть точка, лежащая на границе области 1 имеет индекс 1, а на границе области 8 – индекс 2. проведем через точки А1, В1 и С1 – окружность. Она и будет искомой, касающейся всех окружностей А, В, С. При этом она лежит внутри области 1 (внутри всех исходных окружностей). Если же мы проведем окружность через точки А2, В2, С2, то она будет лежать внутри области 8 (вне всех трех исходных окружностей), охватывая, как лассо, окружности А, В, С.

Рисунок 18.

(К рисунку 17 добавлены перпендикуляры, опущенные из точек Х1 и Х2 на исходные окружности и их точки пересечения с окружностями А, В, С)

Рисунок 19.

(Изображена искомая окружность, проходящая через А1, В1, С1 – точки пересечения перпендикуляров с окружностями А, В, С, лежащие на границе области 1)

Чтобы лучше уяснить расположение окружностей, расположенных в остальных шести областях, воспользуемся аналогией с треугольником. Точнее, мы найдем окружности, касающиеся всех трех прямых (продолженных сторон треугольника).

Рисунок 20.

(три пересекающиеся в разных точках прямые, все биссектрисы между ними, точки пересечения этих биссектрис, окружности с центрами в этих точках пересечения биссектрис, касающиеся трех исходных прямых).

Три прямые, образующие треугольник, разбивают плоскость на 7 областей. При этом 3 из них ограничены двумя прямыми и в них нельзя поместить окружности, касающиеся всех трех прямых, а 4 области ограничены всеми тремя прямыми и в них есть искомые окружности. Мы проводим все возможные биссектрисы между тремя исходными прямыми (между каждой парой прямых – 2 биссектрисы, а пар прямых всего три поэтому биссектрис всего 2*3=6). Но точек пересечения у этих биссектрис – всего 4 и в каждой сходятся по три биссектрисы. И каждая точка пересечения является центром окружности, вписанной в одну из областей плоскости (каждая точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трех прямых).

Чтобы аналогия со случаем трех окружностей стала полней, будем считать (как и делают в геометрии окружности), что прямые – это окружности, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке.

Вернемся к окружностям. Допустим, мы хотим найти окружность, лежащую внутри области 5 (внутри окружности В и вне окружности А и С). проведем биссектрисы между А и В и между В и С, проходящие через эту область. Они пересекаются в двух точках Р1 и Р2, причем одна из них будет лежать в области 5, а другая в области 4, которая в своем роде " противоположна" области 5 – там лежат точки, расположенные вне окружности В и внутри окружностей А и С. В этом же смысле противоположны друг другу области 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6.

Как и в случае с треугольником – между В и С, проходящая через область 5 – также проходит через точки Р1 и Р2. Проведем из этой пары точек окружности, перпендикулярные А, В и С. Как и ранее – обозначим точки пересечения перпендикуляра с окружностью, на которую он был опущен через А1, А2; В1, В2; С1, С2. Причем точки А1, В1, С1 лежат на границе области 5, а А2, В2, С2 – на границе области 4. Окружность, проведенная через А1, В1, С1 – лежит внутри области 5 и касается трех исходных, а окружность, проходящая через А2, В2, С2 – лежит внутри области 4 и также касается трех исходных.

Аналогично надо поступить, строя окружности лежащие в оставшихся областях, на которые окружности А, В и С разделили плоскость.

Вопросы.

1. А почему окружность, построенная описанным способом – касается трех исходных?

2. Почему три биссектрисы между окружностями – пересекаются в двух точках?

3. А что будет, если три исходные окружности расположены иначе?

Ответы на первые два вопроса будут даны в следующих статьях. а третий вопрос частично разберем здесь. Рассмотрим случай, когда все три окружности не имеют общих точек и любые две лежат по одну сторону от третьей. Ранее мы определили угол между пересекающимися окружностями и биссектрису между пересекающимися окружностями. Мы назвали А – биссектрисой между В и С если угол между А и В равен углу между А и С и А проходит через точки пересечения В и С. Другое определение было А(В)=С (из того, что инверсия сохраняет углы между окружностями легко следует, что из А(В)=С следует сформулированное равенство углов). Свойство А(В)=С и возьмем за определение биссектрисы и в случае, когда В и С не пересекаются.

Рисунок 22.

(не имеющие общих точек окружности В, С и их биссектриса А)

Если В и С не пересекаются, есть всего одна биссектриса между ними. Заметим сходство с прямыми на плоскости. Если В и С – параллельные (непересекающиеся) прямые, то есть только одна прямая А, такая, что А(В)=С. А лежит " посередине" В и С.

Рисунок 23.

(описанные прямые, А, В, С)

При этом есть много точечных симметрий, переводящих В в С.

В случае окружностей В и С не имеющих общих точек – также есть еще симметрии. меняющие В и С местами, но о них мы будем говорить в других статьях серии.

Рисунок 24.

(непересекающиеся окружности А, В, С, такие что любые две лежат по одну сторону от третьей, биссектрисы между ними, пересекающиеся в точках Р1 и Р2, перпендикуляры из Р1 и Р2 опущенные на А, В, С, точки пересечения этих перпендикуляров с теми окружностями, на которые они опущены и проходящие через эти точки две окружности, касающиеся трех исходных)

Поступим аналогично разобранному случаю. проведем биссектрисы между А и В и между В и С. Если они пересекаются (а они могут и не пересечься, в этом случае надо определить " пучок" окружностей, что будет сделано в следующих статьях), то проведем соответствующие перпендикуляры. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с теми окружностями, на которые они опущены А1, А2, В1, В2, С1, С2 и выберем точки А1, В1, С1 так, чтобы окружность проходящая через них – касалась трех исходных (это всегда можно сделать). Окружность, проходящая через оставшиеся точки: А2, В2, С2 – также будет касаться трех исходных. Заметим что обе проведенные окружности – не разделяют три исходные между собой. Можно провести еще 6 окружностей, касающихся А, В и С.

Проведем теперь какую-нибудь окружность D, разделяющую А от В и С. Перемещая и раздувая D можно получить окружности D1 и D2, касающиеся трех исходных, причем D1 и D2 будут также разделять А от В и С.

Рисунок 25.

(окружности А, В, С, D, D1, D2)

Аналогично есть пара окружностей, разделяющая В от А и С и касающаяся исходных и пара окружностей разделяющая С от А и В и касающаяся исходных. Всего получается еще 6 касающихся А, В и С окружностей.

Для того, чтобы объяснить эти и некоторые другие случаи необходимо ввести понятие пучка окружностей и воспользоваться мнимой инверсией что и будет сделано в следующих статьях.