Сколько искомых окружностей?

Рассмотрим разные случаи расположения трех окружностей и " на глазок" оценим, сколько может быть окружностей, касающихся их всех.

1.Из трех данных окружностей одна – расположена между двумя другими.

Рисунок 2.

(окружность В разделяет окружности А и С)

В этом случае каждая окружность, касающаяся А и С – пересекает В, поэтому нет ни одной окружности, касающейся одновременно А, В и С.

2.

Рисунок 3.

(три исходные окружности А, В, С – все сами касаются друг друга)

В этом случае есть две окружности, касающиеся их всех. Одна лежит внутри области, ограниченной дугами. Мы можем мыслить ее как каплю, втиснутую внутрь. Другая – охватывает все три исходные окружности. Мы можем представлять ее как лассо, затянутое на трех окружностях. Впрочем, можно считать, что любая исходная окружность, напр. А, также подходит для решения задачи: она касается двух других, а касается ли окружность саму себя? Это – дело определения.

3.

Рисунок 4.

(Три исходные окружности пересекаются между собой и точки пересечения двух из них расположены по разные стороны от третьей окружности.)

В этом случае вся плоскость оказывается разбита на 8 частей. 7 из них ограничены дугами окружностей и в каждую из них можно поместить одну окружность, касающуюся трех исходных. восьмая область плоскости неограниченна, в ней также можно поместить окружность, касающуюся трех данных. Она будет охватывать их, как лассо.

4.

Рисунок 5.

(Все три окружности пересекаются между собой, но точки пресечения первых двух расположены по одну сторону от третьей окружности).

В этом случае плоскость также разбита на восемь частей и существует восемь окружностей, касающихся исходных, но свойства у них другие.. Заметим, что теперь одни части плоскости ограничены двумя дугами, а другие – тремя или четырьмя (в предыдущем случае все части плоскости имели границу из трех дуг). В областях ограниченных четырьмя дугами есть по две искомые окружности, в областях, ограниченных тремя дугами – по одной, а в областях, ограниченных двумя дугами – ни одной. Всего получается восемь окружностей, касающихся трех исходных, как и в предыдущем случае.

5.

Рисунок 6.

(все три исходные окружности касаются друг друга в одной точке)

В этом случае существует бесчисленной количество окружностей, касающихся исходных, все они касаются друг друга в одной точке, той же, что и три исходные. Такой набор окружностей называется " пучком касательных окружностей".

Фундаментальные понятия:

Симметрия окружностей. Ортогональные или перпендикулярные окружности и биссектрисы. Алгебраическая запись для симметрии.

Биссектрисой между двумя пересекающимися прямыми, или биссектрисой угла между двумя прямыми называют прямую, делящую пополам этот угол.

Рисунок 7.

(пересекающиеся прямые А и В и биссектрисы основного L1 и дополнительного L2 углов)

Угол между L1 и А равен углу между L1 и В, угол между L2 и А равен углу между L2 и В, угол между L1 и L2 – всегда прямой. При симметрии относительно L1 прямая А перейдет в В, прямая В – в А. Мы можем выразить это записью: L1(А)=В, L2(В)=А. Также и L2(А)=В, L2(В)=А. Поэтому биссектрису между двумя данными прямыми можно определить как прямую, относительно которой данные прямые симметричны.

Биссектриса между окружностями определяется точно также!

Биссектриса между двумя окружностями – это такая окружность, относительно которой обе окружности симметричны. Симметрия между окружностями называется инверсией и была строго определена шведским математиком Магнусом в первой трети прошлого века.

Определение и основные свойства инверсии:

Обычно инверсию определяют через расстояния, алгебраически. Я поступлю также, хотя из дальнейших статей станет ясно, что это можно сделать иначе или, имеет смысл считать инверсию неопределяемым, аксиоматическим понятием.

Пусть дана окружность А с центром в О и точка Х. Образом точки Х при инверсии относительно окружности А называют точку Y, такую что:

Y лежит на прямой (ОХ) причем О не разделяет точки Х и У и |OX|*|OY|=R*R где R – радиус окружности А.

Рисунок 8.

(Окружность А, ее центр О, прямая (OX) и точка Y)/

Обозначают это так: А(Х)=Y. Из определения легко видеть, что если А(Х)=Y, то А(Y)=X. Точки Х и Y в этом случае называют еще " инверсно сопряженным относительно А".

Свойства инверсии (симметрии окружностей):

1. Точки окружности А остаются неподвижными при инверсии относительно А, т.к. если Х лежит на А, то |OX|=R, |OY|= R*R/|OX|=R, отсюда следует, что Х совпадает с Y.

2. Внутренности А инверсно соответствует внешность, т.е. точке, лежащей внутри окружности А инверсно сопряжена точка, лежащая вне окружности А. Иначе говоря – инверсия выворачивает окружность А наизнанку.

3. Чем дальше точка Y от окружности А, тем ближе Х к центру окружности А. При очень удаленных Y Х почти совпадает с центром О. Т.к. |OX|=R*R/|OY| если |OY| очень велико, то |OX| – почти ноль.

4. Считают, что центр окружности А инверсно сопряжен с бесконечно удаленной точкой.

5. При инверсии окружности переходят в окружности. Иначе говоря, если некоторые точки лежат на одной окружности, то сопряженные с ними точки – также лежат на одной окружности.

Рисунок 9.

(Окружность А и две сопряженные относительно нее окружности В и С)

А(В)=С. в этом случае окружности В и С называют сопряженными относительно окружности А (а окружность А называют сопрягающей окружностью).

6. Прямые инверсно сопряжены с окружностями, проходящими через центр окружности А.

Рисунок 10.

(Окружность А, прямая С и окружность В, проходящая через О, центр окружности А. А(С)=В)

В геометрии окружности прямую считаю частным случаем окружности. Все прямые – проходят через бесконечно удаленную точку (которая инверсно сопряжена с центром окружности А). Это соответствует нашей интуиции о том, что прямая – это окружность " бесконечно большого радиуса".

Уже сейчас мы можем определить биссектрису между окружностями В и С. Это такая окружность А, что А(В)=С. Но чтобы объяснить, что это – " настоящая" биссектриса, определим, что называют углом между окружностями. Углом между пересекающимися окружностями называют угол между касательными к этим окружностям в точке пересечения.

Рисунок 11.

(Пересекающиеся окружности В и С и касательные к ним в двух точках пересечения этих окружностей)

Окружности пересекаются в двух точках, но углы между касательными в точках пересечения – одинаковы. (откуда – по или против часовой стрелки надо отсчитывать угол, определять пока не будем)

Если окружность А проходит через точки пересечения В и С и делит угол между ними пополам, то она и будет биссектрисой между ними, А(В)=С. Как и в случае двух пересекающихся прямых – есть две такие окружности. Обозначим вторую D, тогда D(В)=С. Угол между А и D равен 90 градусам.

Рисунок 12.

(Окружности В и С и две биссектрисы между ними)

Важнейшее свойство угла между окружностями: он не меняется при инверсии. Если угол между В и С равен a, то после инверсии относительно какой-нибудь окружности К угол между К(В) и К(С) – также равен a.

Рисунок 13.

(Окружности К, В и С их образы при инверсии относительно К – К(В) и К(С)).

Угол между касающимися друг друга окружностями равен нулю. Угол между окружностями, не имеющими общих точек – не определяют.

Для всего дальнейшего важнейшую роль играет определение и свойства ортогональных окружностей. Определение: окружности, угол между которыми равен 90 градусам – называются ортогональными или перпендикулярными.

Рисунок 14.

(Две ортогональные окружности В и С. из центра окружности В проведены два радиуса, в их концах проведены две касательные, они перпендикулярны этим радиусам. В точке их пересечения и находится центр ортогональной к В окружности С, проходящей через концы проведенных ранее радиусов)

Точка Х, лежащая на окружности С при инверсии относительно окружности В переходит в точку В(Х) и также лежит на С. Иначе говоря – окружность С переходит в себя при инверсии относительно В, В(С)=С (при этом точки С меняются местами, но остаются на окружности С). Это аналогично тому, что прямая, перпендикулярная данной, переходит в себя при симметрии относительно данной прямой.