Стандартное или школьное доказательство.

Обыкновенно задачу про окружности стараются свести к задачам про прямые, лучше всего – перпендикулярные (а еще лучше – к векторам) и подсчитать какие-нибудь углы и расстояния. В данном случае доказательство использует одну важную идею: если условие задачи содержит только слова " точка" и " окружность" и требуется доказать, что какие-то точки лежат на одной окружности (или окружности пересекаются в одной точке) то можно провести инверсию относительно любой окружности и решать задачу уже про инвертированные точки и окружности. Ведь при инверсии – окружности перейдут в окружности, а точки пересечения – в точки пересечения инвертированных окружностей. Если выбрать центр инверсии в точке пересечения каких-то окружностей, то эти окружности перейдут в прямые. А теоремы о прямых " школьная" геометрия умеет доказывать.

Осуществим инверсию с центром в точке Р. Тогда окружности D1, D2, D3 перейдут в прямые, т.к. по условию проходят через Р, центр инверсии. Нарисуем результат инверсии.

Рисунок 2.

(Окружности А, В, С, и прямые D1, D2, D3 каждая из прямых проходит через пару точек пересечения окружностей А, В, С между собой)

Прямые D1, D2, D3 имеют общую бесконечно удаленную точку. Это – образ точки Р при инверсии. Требуется доказать, что все они пересекаются в одной точке Q. Пусть АВ1 и АВ2; ВС1 и ВС2; АС1 и АС2 – точки пересечения соответственных окружностей. Проведем две прямые D2 и D3 – они пересекутся в точке Q, достаточно доказать, что прямая, проходящая через Q и АС1 проходит и через АС2. Для этого воспользуемся свойством секущих к окружности.

Рисунок 3.

(Окружность О, точка Q вне ее, прямая, проходящая через Q и пересекающая О в точках Х и Х1 и прямая, также проходящая через Q и пересекающая О в точках Y и Y1)

Свойство связывает расстояния: |Q, X|*|Q, X1|=|Q, Y|*|Q, Y1| тогда и только тогда, когда X, X1, Y, Y1 лежат на одной окружности (" только когда" требует уточнения, о том, что Q – не разделяет пары точек пересечения Х, Х1; и Y, Y1. Причем если Q лежит внутри окружности, то напротив, необходимо чтобы Q разделяла точки пересечения, а формула останется неизменной).

Применим это свойство к рисунку 2.

|Q, AB1|*|Q, AB2|=|Q, BC1|*|Q, BC2| т.к. все эти точки лежат на окружности В. Пусть Х – вторая точка пересечения прямой (Q, АС1) с окружностью С, надо доказать, что она лежит на окружности А. Отсюда сразу следует, что она и есть АС2.

|Q, AC1|*|Q, X|=|Q, BС1|*|Q, BС2| т.к. AC1, BС1, BС2 и Х – на окружности С. Но, как было уже сказано |Q, AB1|*|Q, AB2|=|Q, BC1|*|Q, BC2|, значит

|Q, AB1|*|Q, AB2|=|Q, AC1|*|Q, X| АВ1, АВ2, АС1 – лежат на А, значит по свойству длин секущих – и Х лежит на А, по построению Х лежит и на С, значит Х – вторая точка пересечения А и С, что и требовалось. Заметим, что если бы окружность С разделяла точки пересечения А и В, то, после инверсии Q разделяла бы точки АС1 и АС2 и другие точки пересечения. Доказательство в этом случае было бы аналогично.

Это – хорошее доказательство, но оно проходит мимо разных случаев обобщения этой теоремы.