Принципы обработки данных

3.1. Виды погрешностей

Выполнив процесс измерения, получают результат измерения, который не может быть абсолютно точно равен истинному значению физической величины. Причиной появления погрешностей является несовершен­ство используемых средств измерений и неточность передачи рабочим средствам измерений размеров единиц соответствующих физических величин. Несовершенство средств из­мерений проявляется как в случайных, незакономерных из­менениях результата измерений при повторении эксперимен­та в одинаковых условиях, так и в изменениях результата измерения вследствие различия условий проведения экспе­римента, например изменений температуры окружающей среды, влажности воздуха и т.п.

Также причиной появления погрешности может быть несовершенство применяемого метода изме­рения. Так, при измерении характеристик потока (например, скорости) внесение в поле датчика (например, электродиффузионного), обладающего определен­ными характеристиками (геометрическими размерами, и т.п.), приводит к изменению кар­тины поля вблизи датчика, а следовательно, измеряемая данным методом величина принципиально не может быть измерена абсолютно точно. Также причиной появления погрешности может являться сам экспериментатор, вследствие физиологической ограниченности возможностей.

Таким образом, при любом измерении имеется погреш­ность, представляющая собой отклонение результата изме­рения от истинного значения измеряемой величины.

Если погрешность выражена в единицах измеряемой ве­личины, то она называется абсолютной погрешностью изме­рения и определяется формулой

(3.1.1)

где D – абсолютная погрешность; – значение, полученное при измерении; а – истинное значение измеряемой вели­чины.

На практике очень часто оперируют относительной по­грешностью измерения, равной отношению абсолютной по­грешности к истинному значению измеряемой величины:

. (3.1.2)

Так же как и истинное значение измеряемой величины, погрешность измерения не может быть определена абсолют­но точно, поэтому используют приближенные ее оценки.

Погрешности измерений могут быть вызваны различными причинами и по-разному проявляться в эксперименте. В свя­зи с этим существенно отличаются и пути уменьшения тех или иных составляющих погрешности.

В зависимости от причин возникновения погрешности подразделяются на инструментальные, методические и субъ­ективные (личные).

Инструментальная погрешность измерения – погреш­ность из-за несовершенства средств измерений. Эта погреш­ность в свою очередь обычно подразделяется на основную погрешность средства измерений и дополнительную.

Основная погрешность средства измерений – это по­грешность в условиях, принятых за нормальные, т.е. при нормальных значениях всех величин, влияющих на резуль­тат измерения (температуры, влажности, напряжения пи­тания и т.п.). Дополнительная погрешность возникает при отличии значений влияющих величин от нормальных. Обыч­но различают отдельные составляющие дополнительной по­грешности, например температурную погрешность, погреш­ность из-за изменения напряжения питания и т.п.

Методическая погрешность –погрешность измерения, происходящая от несовершенства метода измерений. Эта по­грешность может возникать из-за принципиальных недостат­ков используемого метода, из-за неполноты знаний о проис­ходящих при измерении процессах, из-за неточности приме­няемых расчетных формул. Если предел допускаемой инструментальной погрешности средств измерений нормиру­ется соответствующими документами, то методическая по­грешность может и должна быть оценена только самим экс­периментатором с учетом конкретных условий эксперимента, что во многих случаях представляет собой достаточно слож­ную задачу.

Субъективная, или личная, погрешность обусловлена индивидуальными особенностями лица, выполняющего измерения. Примерами таких погрешностей являются погрешно­сти из-за неправильного отсчитывания десятых долей деле­ния шкалы прибора, асимметричной установки штриха оптического индикатора между двумя рисками, запаздыва­ния реакции человека на сигнал (например, при нажатии головки секундомера в процессе поверки электрического счетчика). Автоматизация средств измерений и совершен­ствование конструкций отсчетных устройств и органов ре­гулировки и управления привели к тому, что субъективные погрешности обычно незначительны.

По характеру изменения погрешности при повторных измерениях погрешности делятся на систематические и случайные.

Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности из­мерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяю­щаяся при повторных измерениях одной и той же величины. В соответствии с этим определением систематические по­грешности разделяются на постоянные и переменные. Пере­менные в свою очередь могут быть прогрессирующими, пе­риодическими и изменяющимися по сложному закону.

Постоянными систематическими погрешностями называ­ются такие, которые остаются неизменными в течение всей серии данных измерений, например погрешность из-за не­точной подгонки образцовой меры, погрешность из-за не­точной установки указателя прибора на нуль и т.п.

Переменные систематические погрешности изменяются в процессе измерений. Если при измерениях погрешность мо­нотонно убывает или возрастает, то она называется прогрес­сирующей. Так, например, монотонно меняется погрешность из-за разряда батареи или аккумулятора, если результат из­мерений зависит от напряжения питания.

Периодическая си­стематическая погрешность – погрешность, значение кото­рой является периодической функцией времени. Ее приме­ром может являться погрешность, вызванная суточными изменениями напряжения питания электрической сети. Систематическая погрешность может изменяться и по неко­торому сложному закону. Таковы, например, погрешности, вызванные неточностью нанесения шкалы прибора, погреш­ность электрического счетчика при различном значении на­грузки, погрешность, вызванная изменениями температуры окружающей среды и др.

Закономерный характер систематической погрешности позволяет уменьшать. При этом сложную задачу может пред­ставлять собой уже обнаружение систематических погрешностей. Экспериментатор не всегда даже подозревает о су­ществовании той или иной систематической погрешности.

Для исключения (компенсации) постоянной системати­ческой погрешности наибольшее распространение в практи­ке получили следующие методы: введения поправок, заме­щения и компенсации погрешности по знаку.

Введение поправок – наиболее широко используемый метод. Ввести поправку – это значит прибавить ее к результа­ту измерения. Очевидно, что для компенсации систематиче­ской погрешности поправка должна быть по абсолютному значению ей равна, а по знаку противоположна.

Метод замещения представляет собой разновидность ме­тода сравнения, когда сравнение осуществляется путем за­мены измеряемой величины известной величиной (образцо­вой) и так, что при этом в состоянии и действии всех исполь­зуемых средств измерений не происходит никаких измерений. В этом случае значение измеряемой величины равно известному значению меры, а средства измерения ис­пользуются фактически для их сравнения.

Метод компенсации погрешности по знаку предусматри­вает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность в результат каждого из них входила с разными знаками. Результат измерения находится как среднее результатов этих двух наблюдений. Так, например, если постоянное внешнее маг­нитное поле вызывает погрешность измерения, то проводят два наблюдения, изменяя положение измерительного прибо­ра относительно внешнего поля на 180°.

Необходимо учитывать, что практически ни один из опи­санных методов не позволяет полностью исключить постоян­ную систематическую погрешность, а позволяет существен­но ее уменьшить.

Случайная погрешность измерения – составляющая по­грешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Слу­чайная погрешность не может быть исключена из результата измерения, но может быть уменьшена путем статистиче­ской обработки совокупности наблюдений.

Таким образом, погрешность результата измерения пред­ставляет собой сумму систематической и случайной состав­ляющих. Поэтому погрешность результата измерений в об­щем случае следует рассматривать как случайную величину, математическое ожидание которой есть систематическая по­грешность. Тогда центрированная случайная величина будет равна случайной погрешности.

Кроме систематических и случайных погрешностей, встречается также грубая погрешность измерения, которая существенно превышает ожидаемую при данных условиях погрешность.

Иногда грубую погрешность называют промахом. Источ­ником грубой погрешности может быть неправильный от­счет показаний средств измерений или непредвиденное кратковременное воздействие какого-либо фактора, напри­мер резкое кратковременное изменение напряжения питаю­щей сети. Грубые погрешности выявляются при статической обработке ряда наблюдений, и соответствующие результаты наблюдений должны быть исключены.

3.2. Обработка результатов измерений. Оценки измеряемой

величины

Измерения являются средством получения информации о тех или иных свойствах реальных физических объектов, о закономерностях протекающих процессов и т.п. Разнооб­разие задач, решаемых с помощью измерений, определяет разнообразие видов обработки результатов измерений. Так как все измерения сопровождаются случайными по­грешностями, то обработка результатов измерений всегда включает в себя операции над случайными величинами или случайными процессами, выполняемые на основе мето­дов теории вероятностей и математической статистики.

Пример 3.2.1. Пусть производятся прямые из­мерения физической величины, истинное значе­ние которой равно а. Если выполнено единственное изме­рение, результат которого равен x, то задача обработки не возникает. Экспериментатор может только оценить пре­дельно допускаемую погрешность на основе норм на мет­рологические характеристики используемых средств изме­рений. Предположим, что в тех же условиях вы­полнены п аналогичных измерений, результаты которых равны х ₁, х ₂,..., х_п.

Разность представляет собой погрешность i -го измерения и является случайной величиной. Очевидно, что первая задача экспериментатора состоит в нахождении оценки измеряемой величины а. Эта оценка может быть получена только путем выполнения математических опе­раций над результатами х ₁, х ₂,..., х_п и, следовательно, яв­ляется случайной величиной, которая должна в некотором смысле наилучшим образом приближаться к значению из­меряемой величины. Таким образом, прежде чем получить формулу для вычисления оценки , необходимо сформули­ровать критерий, характеризующий качество той или иной оценки.

Дополнительная измерительная информация, полученная путем проведения п измерений, дает возможность более точно оценить значение измеряемой величины, оценить параметры закона распределения случайной погрешности, проверить некоторые предположения (гипотезы) относи­тельно этих величин.

Пример 3.2.2. Производятся совместные измерения темпе­ратуры t терморезистора и его сопротивления R_t при этой температуре с целью установить зависимость R_t = R (t). Предположим, что известен линейный характер этой зависимости, т.е.

, (3.2.1)

где – сопротивление терморезистора при температуре ; a – температурный коэффициент сопротивления.

Для решения поставленной задачи необходимо прове­дение минимум двух опытов при температурах t ₁и t ₂, ре­зультаты которых можно представить в виде следующей системы уравнений:

(3.2.2)

В результате решения системы (3.2.2) находим оценки параметров R_{t 0}и a. Очевидно, что, кроме решения ука­занной системы уравнений, никакие другие задачи, связан­ные с обработкой результатов измерений, в данном случае не возникают. Положение существенно меняется, если, кроме двух описанных выше измерений, выполняются еще дополнительные измерения при других значениях тем­пературы. Пусть проведено п опытов при разных темпе­ратурах, результаты которых запишем в виде системы п уравнений:

(3.2.3)

Так как результаты измерений являются случайными величинами, то система уравнений (3.2.3) является несов­местной, т.е. нет таких значений параметров R_{t 0} и a, ко­торые удовлетворяли бы всем уравнениям системы. Поэто­му и в данном случае экспериментатор должен найти такие оценки и искомых параметров, которые в не­котором смысле наилучшим образом приближали бы полученную линейную функцию ко всей совокупности экс­периментальных данных.

Как и в предыдущем примере, получение путем прове­дения дополнительных опытов измерительной информации позволяет повысить точность оценок искомых параметров линейной зависимости, оценить уровень погрешности из­мерений и погрешностей полученных оценок параметров, проверить те или иные гипотезы и т.п.

Чтобы оценка некоторой измеряемой величины (па­раметра) а была в каком-то смысле «доброкачественной», она должна удовлетворять следующим требованиям: оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов п оценка приближается к истинному зна­чению а.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание М [ ]равно истинному значению а, т.е. М [ ] = а. Очевидно, что если оценка несмещенная, то она не содержит систематической погрешности.

Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими она обладает наименьшей дисперсией, т.e. D [ ] = min.

На практике не всегда получают оценки, удовлетворя­ющие всем перечисленным требованиям. Для упрощения вычислений иногда допускают некоторую смещенность оценки или используют, строго говоря, неэффективную оценку, однако во всех подобных случаях необходимо оце­нить степень ухудшения получаемой оценки по сравнению с наилучшей.

Получение «доброкачественных» оценок требует опре­деления критерия их сравнения. Если такой критерий ус­тановлен, то наилучшей оценкой будет та, которая обеспе­чит экстремум этого критерия.

Наибольшее распространение в практике получили сле­дующие методы нахождения «доброкачественных» оценок: наименьших квадратов и максимального правдоподобия.

В методе наименьших квадратов в качестве критерия сравнения оценок используется сумма квадратов отклоне­ний результатов измерений от полученной оценки измеряе­мой величины (или функции). Так, в примере 1 наилучшая оценка а должна удовлетворять условию

, (3.2.4)

а в примере 2 условие оптимальности оценок R_{t 0}и при­мет вид

. (3.2.5)

В методе максимального правдоподобия в качестве критерия оптимальности оценок используется функция правдоподобия, представляющая собой плотность вероятности всей совокупности экспериментальных данных. Искомые оценки находятся из условия максимума функции правдоподобия, что фактически соответствует максимуму вероятности получения именно тех результатов измерений, которые были получены в опытах. Вычисление функции правдоподобия требует знания вида закона распределения погрешности измерений. В этом и состоит принципиальное отличие критерия максимального правдоподобия от критерия наименьших квадратов. Оценки, получаемые этими методами, совпадают в том случае, когда погрешность имеет нормальный закон распре­деления.

Наряду с получением оценки искомой величины в виде одного числа (так называемое точечное оценивание) ши­рокое распространение получило оценивание с помощью доверительных интервалов.

Доверительным интервалом называется интервал зна­чений оцениваемой величины, который с заданной веро­ятностью (доверительной вероятностью) накрывает истинное значение этой величины. Доверительный интервал яв­ляется случайным интервалом: случайно его положение, определяемое точечной оценкой величины, случайна и дли­на интервала, вычисляемая, как правило, по опытным дан­ным.

Необходимо обратить внимание на то, что окончательные результаты обработки измерительной информации, представляемые в виде чисел, должны быть округлены в соответствии с ус­тановленными правилами. В основе правил округления ле­жит утверждение, что числовое значение результата изме­рения должно быть представлено так, чтобы оно оканчи­валось десятичным знаком того же разряда, что и значение его погрешности. Большее число разрядов нецелесообраз­но, так как неопределенность результата, определяемая погрешностью, при этом не уменьшится. При уменьшении числа разрядов неопределенность результата увеличится.

3.3. Обработка результатов прямых равноточных измерений

Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено п аналогичных измерений, результаты которых равны x ₁, х ₂,..., х_п. Каждый из результатов х_i подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют результатом наблюдения.

Результатом измерения является оценка значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений Предположим, что:

1) погрешность является случайной величиной с нормальным законом распределения;

2) математическое ожидание погрешности М [ ] = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность;

3) погрешность имеет дисперсию , одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

4) погрешности отдельных наблюдений независимы.

Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а, сле­довательно, какие бы законы распределения ни имели от­дельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному.

Тогда плотность распределения любого результата x_i запишется в виде

. (3.3.1)

Так как результаты отдельных наблюдений независи­мы, то плотность распределения системы случайных величин x ₁, х ₂,..., х_п

(3.3.2)

Плотность распределения (3.3.2) системы случайных ве­личин представляет собой функцию правдоподобия, ко­торую обозначим

(3.3.3)

Использовав метод максимального правдоподобия, най­дем оценку таким образом, чтобы при а = достигалось

(3.3.4)

Из (3.3.3) следует, что для выполнения (3.3.4) необходимо, чтобы

(3.3.5)

Условие (3.3.5) является формулировкой критерия наи­меньших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим . Тогда оценка будет найдена из условия

(3.3.6)

Отсюда получим

, (3.3.7)

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение ре­зультатов наблюдений.

Из (3.3.7) следует, что оценка является случайной ве­личиной с нормальным законом распределения, причем

. (3.3.8)

Таким образом, оценка имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в п раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений ха­рактеризуется значением среднего квадратического откло­нения погрешности, поэтому из (3.3.8) следует, что при ус­реднении результатов п наблюдений случайную погрешность уменьшают раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов п наблюдений снижается при наличии корреляции между этими резуль­татами. Дисперсия оценки для коррелированных резуль­татов наблюдений

,

где – коэффициент корреляции между результатами i -го и j -го наблюдений.

Полученная оценка является состоятельной, не­смещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить зна­чение дисперсии (или среднего квадратического отклоне­ния) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия (3.3.4), представив ее в виде

(3.3.9)

На основе метода максимального правдоподобия най­дем оценку s² из условия

(3.3.10)

Для упрощения вычислений прологарифмируем (3.3.9):

(3.3.11)

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s², при которых функции (3.3.9) и (3.3.11) достига­ют экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

. (3.3.12)

Продифференцировав (3.3.11) по s², получим

(3.3.13)

Отсюда найдем оценку, которую обозначим s²:

. (3.3.14)

Так как истинное значение а неизвестно, то восполь­зуемся его оценкой а соответствующую оценку диспер­сии обозначим S ²:

. (3.3.15)

Преобразуем (3.3.15):

. (3.3.16)

Математическое ожидание оценки

(3.3.17)

Таким образом, оценка является смещенной оценкой дисперсии s², однако

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (3.3.17) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель .Полученную несмещенную оценку обозначим :

(3.3.18)

Используя (3.3.16), можно записать другую более удобную для вычислений формулу для расчета оценки , равносильную (3.3.18):

(3.3.19)

Полученные оценки значений измеряемой вели­чины и дисперсии погрешности являются точечными оцен­ками. Оценим эти величины с помощью доверительных интервалов. Для этого сформируем общий подход к интервальному оцениванию параметров.

Пусть необходимо получить доверительный интервал для некоторого параметра q, для которого вычислена точечная оценка и известна плотность распределения этой оценки f () (рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1. Плотность распределения оценки

Пусть задана доверительная вероятность Р. Построить доверительный интервал – значит найти его границы и , причем такие, что

(3.3.20)

Границы доверительного интервала зависят не только от оценки измеряемой величины, но и от оценки среднего квадратического отклонения по­грешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случай­ной величины

. (3.3.21)

При нормальном распределении погрешности величина распределена по закону Стьюдента с п –1 степенями свободы (t -распределение). Распределение Стьюдента за­висит от числа опытов п и при п ® ¥ асимптотически при­ближается к нормальному. В таблице «Процентные точки распределения Стьюдента» приведены значения t _aдля величины t, имеющей распреде­ление Стьюдента с k = n –1 степенями свободы, определяе­мые из условия

, (3.3.22)

где – плотность t -распределения. Полагая (где – доверительная вероятность) и зная , по таблице находят границу .

Подставив в (3.3.21) граничные значения , получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

(3.3.23)

или

(3.3.24)

Построим доверительный интервал для дисперсии s² случайной погрешности. Доказано, что при нормальном законе распределения случайной погрешности величина

(3.3.25)

распределена по закону с n –1 степенями свободы. В таблице «Процентные точки хи-квадрат распределения» приведены значения для величины , имеющей c²-распределение с k = n –1 степеня­ми свободы, определяемые из условия

(3.3.26)

где – плотность c²-распределения. Так как это распределение несимметрично, то по таблице необходимо найти значения верхней и нижней границ интервала, соответствующие вероятностям и , где Р – доверительная вероятность.

Подставив в (3.3.26) вместо и найденные граничные зна­чения и , получим границы доверительного интерва­ла для дисперсии:

(3.3.27)

или

. (3.3.28)

Пример 3.3.1. Произведено 15 измерений емкости конденсатора с номинальным значением 1000 пФ.

Предположим, что систематическая погрешность изме­рений пренебрежимо мала, а случайная распределена нор­мально.

Точечная оценка значения емкости конденсатора

Точечная несмещенная оценка дисперсии

Точечная оценка среднего квадратического отклонения

Определим интервальные оценки для истинного значе­ния емкости С и дисперсии s² при доверительной вероятно­сти Р = 0, 95,

По таблице t -распределения для вероятности и числа степеней свободы k = n – 1 = 15 – 1 = 14 находим t _a=2, 145.

Доверительный интервал для С равен:

или

1000, 961 < C < 1001, 265.

Построим доверительный интервал для s². Для этого по таблице c²-распределения для вероятностей

,

и числа степеней свободы k = n – 1 = 14 находим

,

.

Доверительный интервал для s² равен

или

0, 0399 < s² < 0, 1853.

Соответственно доверительный интервал для sравен

0, 200< s < 0, 4305 пФ.

Округлив вычисленные значения, получим: оценка С емкости конденсатора равна 1001, 1 пФ; с доверительной вероятностью Р = 0, 95 истинное значение емкости конден­сатора лежит в пределах

1001, 0 < C < 1001, 3 пФ,

или в более компактной записи

С = (1001, 15 ±0, 15) пФ.

Случайная погрешность измерений характеризуется оценкой среднего квадратического отклонения , а его истинное значение с вероятностью Р = 0, 95 лежит в пределах от 0, 2 до 0, 4 пФ.

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии случайной погрешности оптимальны при нормальном распределении погрешности. Эти же формулы используют и в тех случаях, когда закон распределения погрешности близок к нормальному. В то же время в прак­тике встречаются ситуации, когда закон распределения по­грешности существенно отличается от нормального. Если этот закон известен, то, применив описанную методику, можно получить необходимые оценки, оптимальные по кри­терию максимального правдоподобия.

Однако чаще всего, если распределение существенно отличается от нормального, закон распределения с доста­точной точностью установить не удается. В этом случае то­чечные оценки обычно вычисляют по формулам (3.3.7), (3.3.15) с учетом того, что их эффективность несколько хуже эффективности оптимальных оценок.

Для грубой оценки снизу доверительной вероятности Р при заданном симметричном доверительном интервале можно воспользоваться неравенством Чебышева

(3.3.29)

Тогда для истинного значения измеряемой величины можно построить доверительный интервал в виде

(3.3.30)

где

.

При этом следует учитывать, что по (3.3.30) определяет­ся верхняя граница для размера доверительного интервала.

3.4. Обработка результатов косвенных измерений

В результате косвенных измерений определяется значе­ние физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых рав­ны :

(3.4.1)

Пусть каждая из величин (j = 1, 2,..., т) измерена с погрешностью . Необходимо оценить значение погрешно­сти D z результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию т переменных , запи­шем ее полный дифференциал:

(3.4.2)

или

. (3.4.3)

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим в (3.4.3) дифференциалы соответствующими при­ращениями:

. (3.4.4)

Каждое слагаемое (3.4.4) вида представля­ет собой частную погрешность результата косвенного изме­рения, вызванную погрешностью определения величины . Частные производные носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей.

Формула (3.4.4) является приближенной, так как учи­тывает только линейную часть приращения функции, одна­ко в большинстве практических случаев она обеспечивает удовлетворительную точность оценки погрешностей резуль­татов косвенных измерений.

Если известны систематические погрешности резуль­татов прямых измерений величин , то по (3.4.4) вычисля­ется систематическая погрешность D z результатов косвен­ных измерений. При этом если частные погрешности имеют разные знаки, то происходит частичная компенсация систематических погрешностей.

Эта же формула может быть использована для вычис­ления предельной погрешности. Пусть заданы предельные значения погрешностей прямых измерений в виде и требуется оценить предельную погрешность ± D_mахрезуль­тата косвенного измерения. Тогда из (3.4.4) следует, что

(3.4.5)

Рассмотрим оценивание случайной погрешности резуль­татов косвенных измерений. Пусть величины измерены со случайными погрешностями D _j, имеющими нулевые мате­матические ожидания М [ ]=0 и дисперсии . Исполь­зуя (3.4.4), запишем выражения для математического ожидания М [D z ] и дисперсии s²[D z ] погрешности D z:

(3.4.6)

, (3.4.7)

где – коэффициент корреляции погрешностей и

Если погрешности некоррелированы, то

. (3.4.8)

Таким образом, для оценки результата косвенного измерения естественно применить формулу

, (3.4.9)

а для оценки систематических и случайных погрешностей соответственно (3.4.4) и (3.4.8).

В общем случае при нелинейной функции (3.4.1) коэффициенты влияния , присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями зна­чений величин . Коэффициенты влияния обычно оценива­ются путем подстановки в выражения частных производных оценок . Следовательно, вместо самих коэффициен­тов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погреш­ности при обработке результатов косвенных измерений. Однако в некоторых частных, но распространенных на практике случаях указанная погрешность определения ко­эффициентов влияния отсутствует. Рассмотрим различные ситуации.

1. Функция линейна. Пусть

(3.4.10)

где – известные коэффициенты. Тогда коэффициенты влияния

, (3.4.11)

а формулы (3.4.4) и (3.4.8) приобретают следующий вид:

(3.4.12)

. (3.4.13)

2. Функция логарифмируема. Пусть

(3.4.14)

где – известные числа, которые могут быть положительными или отрицательными, целыми или дробными.

Прологарифмируем, а затем продифференцируем (3.4.14):

(3.4.15)

(3.4.16)

Положив, что погрешности измерений малы, заменим в (3.4.16) дифференциалы соответствующими приращениями:

, (3.4.17)

где ; – относительные погрешности.

Дисперсия случайной относительной погрешности

(3.4.18)

где – дисперсии случайных относительных погреш­ностей прямых измерений значений величин .

Как видно из полученных формул, в данном случае расчет погрешностей упрощается при переходе к оценкам относительных погрешностей измерений.

Пример 3.4.1. Дана функция , где x, y, z – некоррелированные аргументы, полученные измерениями со средними квадратиченскими отклонениями , , . Определить .

Решение. Согласно (3.4.8) можем записать:

Пример 3.4.2. Мощность, поглощаемую в активном сопротив­лении, определяют косвенно путем измерения сопротивле­ния резистора и падения напряжения на нем с последую­щим вычислением по формуле . Предположим что получены следующие результаты: 10 В, 0, 5 %, 100 Ом, 1 %. Оценить относительную погрешность.

Решение. Преобразуем формулу:

.

Согласно (3.4.18)

Тогда

Вт, а » 1, 4%.

Пример 4.3.3. Найти значение электрической энергии и среднюю квадратическую погрешность ее определения по результатам измерения силы тока, сопротивления и времени, если I = (10, 230 ± 0, 015) А, R = (11, 68 ± 0, 01) Ом, t = (405, 2 ± 0, 1) с.

Решение. Для нахождения энергии воспользуемся формулой . Согласно (3.4.18) формула относительной погрешности принимает вид:

кДж.

Пример 3.4.4. При измерении электрического сопротивления катушки приборами класса точности 1, 0 получены следующие результаты: I = 17, 2 мА, U = 440 мВ. Найти величину сопротивления и оценить точность измерения. Максимальное значение силы тока, измеряемое данным миллиамперметром, равно 75 мА, максимальное напряжение – 150 В.

Решение. Абсолютные предельные погрешности приборов составят:

D I = ±75× 10^-2 мА; D U = ±0, 015 В.

Относительные погрешности равны:

Значение сопротивления

Относительная погрешность оценки сопротивления

Абсолютная предельная погрешность оценки сопротивления

Таким образом, результат измерения должен быть записан в виде

3.5. Обработка результатов совместных измерений

При совместных измерениях искомые значения величин находят решением системы уравнений, связывающей эти величины с непосредственно измеряемыми.

Предположим сначала, что искомые значения величин определяются в результате решения системы линейных уравнений:

(3.5.1)

где – искомые значения величин;

– измеряемые значения величин;

– известные значения величин.

Запишем систему уравнений (3.5.1) в виде

(3.5.2)

Предположим, что уравнения (3.5.2) являются точными, но значения получены с погрешностями. Пусть резуль­таты измерений величин равны :

(3.5.3)

где – погрешность измерения величины .

Тогда

(3.5.4)

Очевидно, что при решении системы уравнений (3.5.2) вместо будут использоваться измеренные значения . В этом случае, если число измерений п больше числа неиз­вестных т (n > m), система уравнений (3.5.2) не имеет ре­шения, т.е. нет такого набора значений , кото­рые удовлетворяли бы всем п уравнениям системы. Поэто­му уравнения (3.5.2) называются условными уравнениями.

Относительно погрешности сделаем следующие допу­щения:

1) погрешность является нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожидани­ем и дисперсией s², одинаковой во всех измерениях;

2) погрешности отдельных измерений независимы. Из (3.5.4) следует, что величина будет иметь нормальное распределение с параметрами

(3.5.5)

Запишем плотность распределения величины :

(3.5.6)

Тогда функция правдоподобия

. (3.5.7)

Найдем оценки из условия максимума функ­ции правдоподобия. Прологарифмируем (3.5.7):

(3.5.8)

Условием максимума функции (3.5.8) является

(3.5.9)

или

(3.5.10)

Таким образом, условие (3.5.9) является требованием метода наименьших квадратов. Следовательно, в данном случае при нормальном распределении случайной погреш­ности оценки метода максимального правдоподобия и ме­тода наименьших квадратов совпадают.

Для нахождения значений оценок , удовлетворяющих (3.5.9), необходимо добиться равенства нулю всех частных производных от этой функции по . Отсюда получим:

(3.5.11)

Система уравнений (3.5.11) также является линейной от­носительно величин и называется системой нормальных уравнений. Число нормальных уравнений системы (3.5.11) всегда равно числу неизвестных величин, оценки которых находятся в результате решения этой системы.

Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных , получим стандартную запись системы нормальных уравне­ний:

(3.5.12)

В (3.5.12) x_j и l рассматриваются как n -мерные векторы с компонентами и соответственно.

Коэффициенты и свободные члены пред­ставляют собой скалярные произведения соответствующих векторов:

(3.5.13)

Тогда искомые оценки величин могут быть вычисле­ны из (3.5.12) методом определителей

(3.5.14)

где

Определитель получен заменой в определителе D j -го столбца столбцом свободных членов системы нормальных уравнений.

Полученные оценки являются состоятельными, несмещенными, а для нормального распределения погрешности и эффективными.

Используя те же экспериментальные данные, найдем оценку дисперсии случайной погрешности. Для этого вос­пользуемся формулой логарифма функции правдоподобия:

. (3.5.15)

Найдем оценку дисперсии s², обеспечивающую макси­мум (3.5.15):

(3.5.16)

Подставив вместо оценки , получим:

. (3.5.17)

Оценка S ² является смещенной, а для устранения этой смещенности необходимо перейти к оценке

(3.5.18)

Оценим погрешности найденных значений величин . Оценки дисперсий значений можно вычислить, пользуясь формулой

(3.5.19)

где D – главный определитель системы нормальных урав­нений; – алгебраическое дополнение определителя D, получаемое путем удаления из определителя D j -й строки и j -го столбца; – оценка дисперсии погрешности прямых измерений.

Пример 3.5.1. В результате выполнения совместных измерений находятся параметры линейной зависимости

у = а ₁ + а ₂ х. (3.5.20)

Система нормальных уравнений примет вид:

(3.5.21)

Преобразовав (3.5.20) получим:

(3.5.22)

где ; ; ; .

В результате решения (3.5.21) находим оценки

; (3.5.23)

Аналогично решается задача определения параметров полиноминальных зависимостей более высоких порядков.

Пример 3.5.2. Определить параметры a и b в линейной зависимости , а также случайные погрешности их измерения (систематические погрешности отсутствуют) по результатам 10 измерений, приведенным во 2-м и 3-м столбце табл. 3.5.1:

Таблица 3.5.1

№ измерения
		2, 2			1, 949	-0, 251	0, 063
	0, 5	2, 4	0, 25	1, 2	2, 48175	0, 08175	0, 00668
	1, 0
⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒