И информационных технологиях

1.1. Методы измерений

Различные методы измерений отличаются организацией сравнения измеряемой величины с единицей измерения. С этой точки зрения все методы измерений делятся на две группы: методы непосредственной оценки (метод прямого преобразования) и метод сравнения (метод уравновешенного преобразования).

Метод прямого преобразования заключается в том, что о значении измеряемой величины судят по показанию прибора, заранее отградуированного в единицах измеряемой величины. Точность этого метода не велика, но он достаточно прост.

При использовании методов сравнения измеряемая величина сравнивается с величиной, воспроизводимой мерой. Данные методы характеризуются высокой точностью, но в реализации достаточно сложны. Методы сравнения включают в себя дифференциальный и нулевой методы, метод противопоставления, метод замещения и метод совпадений.

Дифференциальный метод заключается в том, что измерительным прибором оценивается разность между измеряемой величиной и образцовой мерой. Точность этого метода увеличивается с уменьшением разности между сравниваемыми величинами.

Нулевой метод является частным случаем дифференциального метода и заключается в том, что результирующий эффект воздействия измеряемой величины и меры на прибор сравнения доводится до нуля.

Метод противопоставления (метод компенсаций) состоит в том, что измеряемая величина и противопоставляемая ей образцовая мера временно воздействуют на прибор сравнения, по которому устанавливается их соотношение.

Метод замещения состоит в том, что измеряемая величина замещается в измерительной схеме регулируемой образцовой мерой так, чтобы никаких изменений в состоянии измерительной схемы не происходило, т.е. показания прибора будут те же, что и при включении измеряемой величины.

Метод совпадений состоит в том, что измеряют разность между искомой величиной и образцовой мерой, используя совпадения отметок или периодических сигналов. Этот метод применяют для измерения перемещений, периода, частоты и т.д.

1.2. Сигналы

Информация о свойствах объектов измерения поступает на вход средств измерений в виде сигналов. Сигналы в зависимости от физических явлений, лежащих в из основе, делятся на механические, тепловые, акустические, электрические, магнитные, световые и т.д. В зависимости от характера их изменения во времени они бывают постоянные и переменные во времени. Переменные во времени сигналы подразделяются на случайные и неслучайные (детерминированные и квазидетерминированные).

Случайным называют сигнал, значение которого в каждый момент времени является случайной величиной.

Детерминированными называются сигналы, закон измерения которых известен и, следовательно, известны значения всех его параметров. К ним относят сигналы на выходе мер, калибровочные, а также сигналы, используемые в качестве несущих сигналов при передаче и т.д.

Квазидетерминированными называют сигналы с известным характером закона измерения во времени, но неизвестным по значению одним или несколькими параметрами. К ним относится синусоидальный сигнал с известной амплитудой и частотой, но неизвестной фазой. Неизвестный параметр может изменяться в широком диапазоне значений и даже по случайному закону. Квазидетерминированные сигналы в свою очередь подразделяются на элементарные и сложные. К основным элементарным законам относятся постоянный сигнал с известной амплитудой, идеальный единичный импульс и синусоидальный сигнал. К периодическим сложным сигналам относятся полигамный сигнал, последовательности прямоугольных, косинусоидальных, треугольный и других форм импульсов.

1.3. Преобразование измерительных сигналов

В основе исследования электрических сигналов лежит широко используемы принцип суперпозиций, который можно выразить следующим образом: в линейной системе действие суммы причин равно сумме действий, вызываемых каждой причиной, отдельно взятой. Существуют два равноценных подхода к исследованию свойств систем – временной, при котором процесс описывается функцией времени, и спектральный (частотный), при котором процесс описывается заданием комплексного спектра, являющегося функцией частоты.

Сложные периодические сигналы образуются суммированием двух и более синусоидальных гармоник с кратными частотами. И обратно: любой сложный периодический сигнал может быть разложен на элементарные ортогональные функции. В качестве ортогональных функций используются либо элементарные функции, например тригонометрические, либо специальные, например комплексные экспоненциальные, полиномы Лежандра, Якоби, ряд Котельникова и т.д.

Наиболее часто в качестве ортогональных функций применяют тригонометрические функции, образующие ряд Фурье. В этом случае любой периодический сигнал f (t) можно представить на интервале (t ₀, t ₀+ T) рядом элементарных сигналов:

(1.3.1)

где a ₀ – постоянная составляющая; a_k, b_k – коэффициенты k -ой гармоники; w₀ = 2p/ T – круговая частота; T – период сигнала f (t); k – целые числа.

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам

(1.3.2)

Тригонометрический ряд Фурье применяют также в следующей форме:

(1.3.3)

где A ₀ – постоянная составляющая; , k = 1, 2, 3, ….

Используют и другую форму записи тригонометрического ряда Фурье в виде экспоненциального ряда:

(1.3.4)

Коэффициенты экспоненциального ряда Фурье определяются по формуле

(1.3.5)

Сложный периодический сигнал f (t) с периодом повторения T можно представить в виде периодических синусоидальных сигналов с частотами

1.4. Спектр периодических сигналов

Совокупность амплитуд гармонических составляющих, на которые разложен сигнал, образуют спектр амплитуд. Сложный периодический сигнал обладает дискретным (линейчатым) спектром, графически изображающимся в виде вертикальных линий вдоль оси частот в точках w₀, 2w₀, 3w₀, и т.д. Высота каждой из этих спектральных линий пропорциональна амплитуде данной частотной составляющей. Обычно частотные составляющие спектра являются комплексными числами, поэтому для представления сложной периодической функции необходимо иметь два частотных спектра – спектр амплитуд (рис 1.4.1 а) и спектр фаз (рис. 1.4.1 б). Часто эти составляющие являются только действительными или только мнимыми, и данный сигнал можно представить одним спектром амплитуд, так как его фазовый спектр постоянен и имеет составляющие равные 0 или 90°.

Спектры периодических несинусоидальных сигналов самой различной формы, но с одинаковым T содержат один и те же гармонические составляющие (основную и кратные ей высшие гармоники), однако амплитуды их различны для различных сигналов. Если построить аналогичные спектры модулей комплексных амплитуд F_k ряда Фурье в комплексной форме, то все спектральные линии будут вдвое короче (F_k = A_k /2), кроме линии, изображающей постоянную составляющую.

Дискретный спектр периодического сигнала, определяемый с помощью специальных средств измерения – анализаторов гармоник, характеризуется совокупностью важных информативных параметров сигнала – значениями амплитуд и фаз отдельных гармоник, полосой частот и т.д.

Рис. 1.4.1. Спектр амплитуд (а) и спектр фаз (б)

Непериодический сигнал x (t) можно представить в пределе как периодический с периодом T. На основе таких представлений получают прямое преобразование Фурье, которое связывает непериодический сигнал x (t) с ее спектральной плотностью S (j w)

(1.4.1)

и обратное преобразование Фурье

(1.4.2)

При увеличении T периодический последовательности импульсов разности частот соседних частотных составляющих становятся ничтожно малыми, равными d w и дискретный спектр превращается в непрерывную функцию S (j w), т.е. в непрерывный спектр.

Спектральная плотность сигнала S (j w) является комплексной величиной:

S (j w)= A (w)+ jB (w), (1.4.3)

где

Модуль и фаза спектральной плотности определяются по формулам

(1.4.4)

Периодический сигнал f (t) описывается рядом Фурье и имеет дискретный (линейчатый спектр), изменяющийся в диапазоне частот от 0 до +¥, а непериодический сигнал x (t) описывается интегралом Фурье и имеет непрерывный (сплошной) спектр, изменяющийся в диапазоне частот от -¥ до +¥.

Теоретически для большинства периодических сигналов спектр неограничен, т.е. для передачи такого сигнала по каналу канал должен иметь бесконечно большую полосу пропускания. Практически же реальные каналы передачи информации имеют ограниченную полосу пропускания, поэтому форма сигналов при передаче по каналу изменяется даже в отсутствии в этой полосе амплитудных и фазовых искажений. В идеальном случае для передачи сигнала без искажений необходимо передавать все бесконечное число гармоник. На практике приходится передавать не весь спектр импульсного сигнала, а только его часть, ограничиваясь одним, двумя или тремя лепестками спектра. Чем уже полоса частот сигнала, тем заметнее искажение его формы.

Ширина спектра сигнала – это частота самой высокой гармоники в спектре сигнала. За практическую ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится наиболее существенная часть спектра сигнала.

Например, для периодической последовательности однополярных прямоугольных импульсов длительностью t и скважностью Q = 2 ряд Фурье имеет вид

(1.4.5)

где

Спектр состоит из постоянной составляющей и большого числа гармоник, амплитуды которых A ₁, A ₂, A ₃ и т.д. постепенно уменьшаются с ростом частоты (рис.1.4.2). Частота первой гармоники всегда равна частоте следования импульсов. Амплитуда шестой гармоники равна 0 (так как аргумент синуса p). Далее амплитуды гармоник начнут возрастать, а амплитуда 12-й гармоники опять обратиться в ноль. Частоты гармоник, амплитуды которых обращаются в ноль, кратны величине обратной длительности импульса: 1/t, 2/t, 3/t, 4/t и т.д.

Если для передачи такой серии импульсов выделяется полоса частот, равная D F_c = 1/t = 1/20× 10^-3 = 50 Гц, то передача будет осуществляться в нашем случае пятью гармониками (от f ₁ = 8, 3 Гц до f ₅ = 41, 64Гц). При увеличении частоты импульсов втрое (при той же длительности t) уравнение (1.4.4) будет иметь вид

(1.4.6)

Амплитуды постоянной составляющей и первой гармоники увеличились (первый лепесток спектра содержит всего одну гармонику), амплитуда второй гармоники (f ₂ = 50 Гц) равна нулю. Если передача будет происходить по-прежнему в полосе частот D F_c = 50 Гц, то будут переданы только постоянная составляющая и первая гармоника. Однако, несмотря на разное количество передаваемых гармоник, воспроизведение формы импульса в обоих случаях будет почти одинаковым.

Рис. 1.4.2. Спектр периодической последовательности

прямоугольных импульсов

Практически ширина спектра последовательности прямоугольных импульсов выбирается из соотношения D F _c = m/t.

При m = 1 обеспечивается передача основной части энергии сигнала, которая складывается из суммы энергии постоянной составляющей и всех гармоник.

На практике m берется не более 2. В полосе частот D F _c = 1/t сосредоточено более 90 % всей энергии сигнала и достаточно точно передается амплитуда прямоугольных импульсов. Третья гармоника добавляет еще 5% энергии, а передача 5-й гармоники обеспечивает 96% энергии сигнала. Ясно, что дальнейшее расширение полосы частот не целесообразно.

Увеличение m приводит не только к более точному воспроизведению формы импульса, но и к значительному расширению полосы частот, что обычно нерационально.

Условием передачи сообщений по каналу без искажения является выполнение условия D F_c £ D F_k, т.е. полоса частот, занимаемая полезным сигналом, не должна превышать диапазона частот канала.

1.5. Модуляция

Во многих случаях на практике изучаемый объект находится на значительном удалении от потребителя измерительной информации. При этом возникает задача передачи этой информации от объекта измерения до потребителя. Передача измерительной информации осуществляется с помощью различного вида сигналов с использованием таких процедур, как модуляция, дискретизация (квантование) и кодирование.

Модуляция позволяет осуществить для сигнала обмен между полосой частот и отношением сигнала к шуму, увеличивает объем передаваемой информации по одной линии связи за счет частотного разделения каналов и повышает достоверность передаваемых сигналов при использовании помехоустойчивых видов модуляции.

Модуляция – это образование сигнала путем изменения параметров переносчика информации под воздействием сообщения. В качестве переносчиков информации в измерительной технике используются гармонические колебания или периодические последовательности импульсов. В несущем гармоническом сигнале могут модулироваться три параметра: амплитуда , частота , фаза . В зависимости от изменяемого параметра переносчика различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции синусоидального сигнала.

1.5.1. Амплитудная модуляция

Амплитудная модуляция – это образование сигнала путем изменения амплитуды гармонического колебания (переносчика) пропорционально мгновенным значениям напряжения или тока другого электрического сигнала (сообщения). Модулирующий сигнал может быть либо детерминированным, либо случайным, но всегда наивысшая частота его спектра W_max должна быть меньше частоты несущего сигнала w₀.

Пусть модулирующий сигнал, несущий информацию имеет вид

(1.5.1)

где Е – амплитуда модулирующего сигнала; W – угловая частота модулирующего сигнала, а несущий сигнал имеет вид

(1.5.2)

В модулированном сигнале амплитуда несущей частоты будет изменяться по линейному закону

где – коэффициент пропорциональности.

Тогда выражение для модулированного сигнала запишется в виде

(1.5.3)

где D U = KE – максимальное изменение значения амплитуды переносчика; – относительное изменение амплитуды несущей частоты, называемое глубиной модуляции.

Если m £ 1, т.е. при амплитуда всегда будет иметь положительные значения и огибающая модулированного сигнала будет повторять форму модулирующего сигнала без искажения (рис. 1.5.1).

Если m > 1, т.е. при амплитуда в некоторых интервалах времени будет иметь отрицательное значение, что приведет к искажению огибающей модулированного сигнала (рис. 1.5.2).

Рис. 1.5.1. Амплитудная модуляция (m £ 1)

Рассмотрим использование амплитудной модуляции на примере использования в качестве переносчика и модулирующего сигнала гармонических сигналов: переносчик и модулирующий сигнал . Приняв для простоты и используя выражение для модулированного сигнала, получим

(1.5.4)

Из полученного выражения видно, что здесь амплитудно-модулированный сигнал состоит из основного колебания несущей частоты и двух колебаний, отличающихся от переносчика на частоту сообщения W. Основное сообщение сохраняет частоту и амплитуду переносчика в процессе модуляции. Второй член в этом выражении представляет собой синусоиду с амплитудой и повышенной частотой и называется верхней боковой составляющей. Третий член в этом выражении есть также синусоида с амплитудой и пониженной частотой , которая называется нижней боковой составляющей. Полоса частот сигнала при этом будет равна (рис. 1.5.3)

Рис. 1.5.2. Амплитудная модуляция (m > 1)

(1.5.5)

Так, при частоте переносчика w₀ и частоте модулирующего сигнала W = 100Гц полоса частот, занимаемая АМ-сигналом , составляет 200 Гц, т.е. сигнал лежит в полосе частот от 4900 до 5100 Гц.

Рассмотрим также использование модуляции для случая сложного непериодического модулирующего сигнала, который можно записать в виде

(1.5.6)

где – амплитуда n -й гармоники; – начальная фаза n -й гармоники.

Рис. 1.5.3. Амплитудные спектральные диаграммы модулирующего

и АМ-сигналов

Используя выражение сигнала для модулированного, получим

(1.5.7)

Таким образом, спектр сложного АМ-сигнала состоит из колебаний несущей частоты и множества колебаний с частотами и . Здесь – верхняя боковая полоса; – нижняя боковая полоса. Полоса частот сигнала составляет

. (1.5.8)

В процессе модуляции происходит смещение или перенос спектра сообщения передаваемого сигнала на интервал частот, равный частоте переносчика (рис. 1.5.4).

Рис. 1.5.4. Спектральные диаграммы сигналов при АМ-модуляции

При работе нескольких измерительных устройств и в случае передачи информации от объекта измерения по одной линии связи необходимо, чтобы спектры сигналов не перекрывали друг друга, а, следовательно, чтобы несущие частоты отличались друг от друга не менее чем на .

Например, если спектр сигнала ограничен частотой W _n = 10кГц, то ширина спектра сигнала составляет 20кГц. При организации нескольких каналов несущие должны отличаться друг от друга не менее чем на 20 кГц. Тогда число каналов связи

, (1.5.9)

где – диапазон частот для канала; – ширина спектра АМ-сигнала.

Например, при = 300кГц, = 200кГц, а = 20 кГц число каналов связи будет

.

Для уменьшения полосы частот модулированного сигнала, повышения помехоустойчивости и лучшего использования аппаратуры осуществляют передачу одной боковой полосы сигнала. Вся информация о сигнале содержится в боковых полосах без несущего колебания. Вторая боковая полоса и несущая подавляется с помощью фильтров или специальных схем. Для восстановления передаваемого сигнала на приемном пункте необходимо иметь специальные высокостабильные генераторы несущих частот. Передача сигнала без несущих частот позволяет:

– более чем в два раза уменьшить занимаемы диапазон частот;

– уменьшить расход энергии и повысить уровень боковых частот, что приводит к увеличению отношения сигнал-помеха и повышает надежность передачи.

1.5.2. Частотная модуляция

При частотной модуляции частота синусоидального сигнала (переносчика) изменяется по закону изменения передаваемого сигнала. При этом его амплитуда не меняется. Выражение для частотно-модулированного сигнала имеет вид

(1.5.10)

где – амплитуда; – частота несущего колебания; – максимальное отклонение частоты от (это отклонение пропорционально амплитуде модулированного сигнала).

Подставив в это выражение значение (модулирующий сигнал, несущий информацию), получим

(1.5.11)

где – коэффициент частотного отклонения или индекс частотной модуляции.

Частотно-модулированный сигнал состоит из несущей частоты с амплитудой и двух бесконечных боковых полос и , внутри которых частоты отстоят друг от друга на величину W. Спектр частотно-модулированного сигнала бесконечно велик. Полоса частот при частотной модуляции находится как . Оптимальная величина зависит от требуемой точности передачи. Так для информационно-измерительных систем при выполнении измерений с погрешностью d = 1% = 5, а при d = 0, 1% = 15.

Частотная модуляция имеет ряд преимуществ перед амплитудной модуляцией. Хотя техническая реализация частотной модуляции сложнее амплитудной и занимаемая полоса частот частотной модуляцией значительно выше, чем при амплитудной модуляции, но помехоустойчивость частотной модуляции значительно выше, при амплитудной. Это связано с тем, что помехи воздействуют в первую очередь на амплитуду сигнала, что при частотной модуляции существенного значения не имеет. Из-за плохой помехоустойчивости амплитудной модуляции она как самостоятельный вид модуляции применяется редко, а используется обычно как промежуточный вид модуляции при двойных модуляциях типа АМ – ЧМ и ЧМ – АМ.

1.5.3. Фазовая модуляция

При фазовой модуляции передаваемое сообщение изменяет значение фазы переносчика. Таким образом, фаза несущей частоты изменяется прямо пропорционально мгновенным значениям тока или напряжения модулирующего сигнала. Выражение для фазовой модуляции имеет вид:

(1.5.12)

где – максимальный сдвиг по фазе или девиация фазы.

Полоса частот, занимаемая таким сигналом, будет равна

(1.5.13)

При > > 1 спектр частот при фазовой модуляции похож на спектр частот частотной модуляции. При < < 1 спектр частот . Фазовая модуляция аналогична частотной, и отличаются они друг от друга лишь методами их осуществления.

1.5.4. Двукратные виды модуляции

Они обладают рядом достоинств, в том числе позволяют повысить помехоустойчивость передачи сообщения. При модуляции типа АМ – ЧМ сначала сообщением модулируется по амплитуде первый переносчик, который называется поднесущей. Далее амплитудно-модулированный сигнал модулирует второй переносчик, или несущую частоту. В результате этого имеем сигнал, модулированный по частоте (рис. 1.5.5).

Рис. 1.5.5. Двукратная модуляция типа АМ – ЧМ

Иногда применяется модуляция ЧМ – АМ, при которой помехоустойчивость обеспечивается ЧМ, а экономия полосы частот – АМ. При этом поднесущая частота модулируется по частоте, а затем частотно-модулированный сигнал модулирует несущую частоту по амплитуде. По такому же принципу осуществляется модуляция ЧМ – ЧМ.

Используя серию импульсов в качестве переносчика, можно под воздействием сообщения в зависимости от изменяемых параметров переносчика (амплитуда импульсов, длительность импульсов, число импульсов и т.д.) получить импульсную модуляцию. Так как параметров у такого переносчика много, то и число импульсных методов модуляции достаточно велико: амплитудно-импульсная (АИМ), широтно-импульсная (ШИМ), времяимпульсная (ВИМ), частотно-импульсная (ЧИМ), кодоимпульсная (КИМ) модуляции и др. Для импульсных методов модуляции характерна зависимость ширины полосы частот модулированного сигнала от длительности импульса переносчика.

1.6. Квантование

При передаче измерительной информации по каналу связи она искажается под воздействием внутренних и внешних воздействий на сигнал. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи, и эти искажения легче обнаружить. Информация, получаемая в дискретной форме, имеет ряд преимуществ по сравнению с аналоговой ее формой при хранении и обработке.

Операция замены аналоговой величины дискретной называется квантованием. При квантовании:

– вся область возможных значений разбивается на конечное число подобластей или интервалов квантования;

– каждому интервалу присваивается определенный индекс;

– попадание входного сигнала в любую точку интервала вызывает появление на выходе прибора индекса интервала.

1.6.1. Квантование по уровню

Процесс квантования по уровню функции проиллюстрирован на рис. 1.6.1. В результате квантования образуется ступенчатая функция. Переход с одной ступени на другую происходит в те моменты, когда первоначально непрерывная функция пересекает линию, проведенную посередине интервала квантования.

Рис. 1.6.1. Квантование сообщения по уровню функции

По оси ординат откладывается значение заранее выбранного шага квантования q и проводят линии, параллельные оси времени, обозначающие уровень квантования. При постоянном шаге квантования q имеется случай равномерного квантования.

Максимальная ошибка квантования .

Погрешность квантования

(1.6.1)

где – число интервалов; – число уровней квантования.

В произвольный момент времени ошибка квантования представляет собой непрерывную случайную величину, равномерно распределенную в интервале . При условии, что велико, все значения l в одном интервале квантования можно считать равновероятными.

Например, требуется найти число уровней квантования и величину шага квантования q, если 0, 1%, =150 В. Используя выражение для , получим интервалов, уровней. Для определения шага квантования запишем

(1.6.2)

Так как =0, то В.

1.6.2. Квантование по времени

Замена непрерывной функции ее отдельными значениями в определенные моменты времени называется квантование по времени или дискретизацией. Процесс дискретизации функции показан на рис. 1.6.2. Горизонтальная ось времени делится на интервалы, отстающие друг от друга на интервал квантования . Далее проводятся вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией, а в точках 1, 2, 3, …, 13 определяются значения функции, начиная с .

Значения непрерывной функции будет передаваться не бесконечным рядом значения, а значениями функции в дискретные моменты времени. Очевидно, чем меньше шаг квантования, тем с большей точностью будет восстанавливаться на приеме функция , но при этом увеличивается число отсчетов функции.

Шаг квантования определяют из теоремы Котельникова, которая заключается в том, что любая непрерывная функция, спектр частот которой ограничен частотой F _max, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значениям, взятым через интервалы времени .

Рис. 1.6.2. Квантование сообщения по времени

Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает представление исходной функции с заданной точностью минимальным числом отсчетов. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходной функции. В случае неоптимальной дискретизации, кроме существенных, производятся и избыточные отсчеты. Наличие избыточной информации:

– занимает канал связи на более длительное время;

– требует увеличивать объем памяти при хранении;

– увеличивает время поиска и считывания данных;

– уменьшает скорость обработки данных.

Поэтому дискретизацию по времени следует рассматривать не только как операцию преобразования непрерывного сообщения в дискретное, но и как один из методов устранения избыточной для потребителя информации.

1.6.3. Квантование по уровню и времени

Квантование по уровню и вре­мени осуществляется путем замены через время t значений функции ближайшим дискретным уровнем. Процесс квантования функции представлен на рис. 1.6.3. Проводятся линии, параллельные оси абсцисс с шагом q, затем линии с шагом , параллельные оси времени.

В данный момент времени передается только одно значение уровня, ближайшее к кривой . При квантовании по уровню и по времени по­грешность от квантования

(1.6.3)

Рис. 1.6.3. Квантование сообщения по уровню и времени

Погрешность результата измерения определяется восприятием и се­лекцией измеряемой физической величины в исследуемом или контроли­руемом процессе и формированием первичного измерительного сигнала.

Операция преобразования аналогового измерительного сигнала в цифровую форму имеет место во всех измерительных устройст­вах – без ее выполнения принципиально невозможно получить результат измерения в виде конечного числа. В стрелочных измерительных прибо­рах наблюдатель сам осуществляет сопоставление плавно изменяющего­ся угла отклонения стрелки с делениями шкалы и взятие отсчета.

В цифровых измерительных приборах и аналого-цифровых преобра­зователях эта операция автоматизирована. В цифровых приборах в соот­ветствии со значением измеряемой величины образуется код, а затем в соответствии с кодом измеряемая величина представляется на отсчетном устройстве в цифровой форме.

1.7. Кодирование

Кодом называется мно­жество целых рациональных чисел, сопоставляемых по определенному алгоритму с множеством сообщений. Под множеством рациональных чисел подразумевается совокуп­ность дискретных сигналов в виде кодовых комбинаций. Поэтому коди­рованием называется преобразование дискретных сообщений в дискрет­ные сигналы в виде кодовых комбинаций, а декодированием – обратный процесс однозначного восстановления передаваемых дискретных сооб­щений.

Для квантования сигнала пересчет номера интервала в другую систему счисления (двоичную или десятичную) также является кодиро­ванием.

Целями кодирования являются:

– передача по общему каналу связи нескольких сообщений для кодово­го разделения сигналов;

– повышение помехоустойчивости и достоверности передачи сообще­ний;

– уменьшение избыточности (экономичное использование частот кана­лов связи);

– снижение стоимости хранения и передачи сообщений;

– возможность засекречивания передач.

Основные характеристики кода:

m – основание кода, равное числу отличающихся друг от друга сим­волов в алфавите;

n – длина кодовой комбинации (разрядность кода); n равно числу одинаковых или отличающихся друг от друга символов в кодовой комбинации; если все кодовые комбинации одинаковы по длине, то код называется равномерным, а неравномерным – в том случае, если разрядность кода непостоянна;

N – число кодовых комбинаций в коде (объем кода). Каждая комби­нация может представлять собой отдельное сообщение.

При передаче символы кода отображаются в виде элементарных электрических импульсов. Эти импульсы могут отличаться по некоторым избирающим признакам (амплитуде, частоте и т.д.), число которых в коде равно m. Существуют параллельный и последовательный способы передачи кодовых сигналов. При последовательной передаче все кодовые комбинации и их элементарные импульсы передаются последовательно во времени по общей проводной линии или каналу связи; при параллельной передаче каждому разряду кодовой комбинации выделяется отдельная проводная линия или канал связи.

По способу образования кодовых комбинаций коды можно разделить на две большие группы: числовые коды (цифровые), в которых кодовые комбинации образуют ряд возрастающих по весу чисел, определяемый системой счисления, и нечисловые коды, в основу принципов комбини­рования которых положены законы математической теории соединений (законы перестановки, размещения, сочетания и др.).

1.7.1. Цифровые коды

В зависимости от значения основания кода m их называют двоичными (m = 2), десятеричными (m = 10) и т.д.

Двоичные коды основаны на использовании двоичной системы счисления. Это позиционная система счисления, в которой числовое значение символа зависит от его места в числе. Ее главным преимуществом является несложная аппаратурная реализация логических операций и арифметических действий, а также устройств передачи и запоминания сообщений.

Двоичные коды можно разделить на две группы. К первой группе относятся коды, использующие все возможные комбинации, – неизбыточные коды. Ко второй группе относятся коды, использующие лишь часть всех возможных комбинаций, – избыточные коды. Оставшаяся часть ком­бинаций используется для обнаружения и исправления ошибок, возникающих при передаче информации. В этих кодах количество разрядов кодовых комбинаций можно условно разделить на определенное число разрядов, предназначенных для полезной информации (информационные разряды), и число разрядов, предназначенных для обнаружения или исправления ошибок (проверочные разряды).

Если в двоичном коде длина всех кодовых комбинаций одинакова, то такие коды называются равномерными. Например, код, состоящий из комбинаций 001, 011, 111, является равномерным; код 1, 11, 110 нерав­номерный. В телеизмерении применяются равномерные коды (n = const) из-за удобства передачи, расшифровки и защиты от ложных кодовых комбинаций.

Избыточные коды, в которых определенные разряды кодовых комбинаций отводятся для информационных и проверочных символов, являются разделимыми.

Неразделимые коды не имеют четкого разделения ко­довой комбинации на информационные и проверочные символы. Наибольшее распространение получили раздели­мые равномерные коды, у которых проверочные символы опре­деляются в результате проведения линейных операций над определенными информационными символами. Обычно та­кой операцией является сложение по модулю 2. Указанные коды называются систематическими.

Основными характеристиками кодов являются основание кода, длина кода, мощность кода, полное число кодовых комбинаций, число информационных разрядов, число проверочных разрядов, избыточность кода, кодовое расстояние.

Основание кода m – число различных цифр (букв), из которых строится код. Для двоичных кодов m = 2. Длина кода n – число разрядов, составляющих кодовую комби­нацию. Мощность кода N _p – число кодовых комбинаций, используемых для передачи информации. Полное число ко­довых комбинаций N – число всех возможных комбина­ций, равное mⁿ (для двоичных кодов N = 2 ⁿ), Число информационных разрядов k связано с мощностью кода со­отношением N_p = m^k (для двоичных кодов N_р = 2 ^k).

Число проверочных разрядов r = n - k – число разрядов кодовой комбинации, необходимых для коррекции оши­бок. Это число характеризует абсолютную избыточность кода.

Кодовое расстояние d между кодовыми комбинациями – число соответствующих разрядов с различными символами. Так, например, для комбинации 101 и 011 d = 2. Для кода в целом важной характеристикой является минимальное кодовое расстояние d _min.

Для десятичных чисел во многих случаях используются более слож­ные коды, основанные на раздельном кодировании каждой десятичной цифры и полуразрядном представлении кодовых комбинаций, соответст­вующих отдельным десятичным цифрам числа. К таким простейшим ко­дам относятся единично-десятичный код, используемый при наборе но­мера абонента номеронабирателем в автоматических телефонных систе­мах. Каждая цифра десятичного числа в этом коде передается соответст­вующим числом импульсов.

В системах измерений, цифровых и других устройствах широкое применение получил двоично-десятичный код. В двоично-десятичных кодах каждая десятичная цифра представляется группой цифр, состоящей из четырех двухпозиционных разрядов. Такая группа позволяет сформиро­вать 16 различных комбинаций. В десятичной системе используются только 10 цифр, т.е. шесть комбинаций являются избыточными. Так как избыточными могут быть любые шесть комбинаций, то это приводит к большому числу вариантов построения двоично-десятичных кодов.

Предположим, что каждая десятичная цифра представляется в виде

, (1.7.1)

где равно 0 или 1, a –веса соответствующих разрядов.

Очевидно, что для кодирования цифр от 0 до 9 необходимо, чтобы .

Двоично-десятичные коды строятся с учетом следующих условий:

1) вес наименьшей значащей цифры q ₁равен 1;

2) вес второй значащей цифры q ₂равен 1 или 2;

3) вес, соответствующий двум оставшимся цифрам кода, , если q ₂ = l, или , если q ₂ = 2;

4) совокупность весов должна удовлетворять соотношению .

В соответствии с этими условиями можно сформировать 17 кодов со следующими весами разрядов:

8–4–2–1 3–3–2–1

7–4–2–1 6–2–2–1

6–4–2–1 5–2–2–1

5–4–2–1 4–2–2–1

4–4–2–1 6–3–1–1

7–3–2–1 5–3–1–1

6–3–2–1 4–3–1–1

5–3–2–1 5–2–1–1

4–3–2–1

Так, например, при использовании кода 4–2–2–1 число 138 будет закодировано в виде 0001 0011 1110.

Все двоично-десятичные коды, кроме кода 8–4–2–1, не имеют однозначности в отображении десятичных чисел. Необходимая однозначность достигается только соответствующим построением устройств кодирования и декодирования.

Двоично-десятичные коды обладают небольшой избыточностью, что можно использовать для обнаружения некоторых ошибок. Однако при этом выявляются не все даже простые однократные ошибки, а только те из них, которые приводят к появлению неиспользуемых кодовых комбинаций.

В двоичном коде при переходе от изображения одного числа к изображению соседнего большего или соседнего меньшего числа может происходить одновременно изменение цифр в нескольких разрядах. Это может явиться источником значительных ошибок при некоторых способах кодирования непрерывных сообщений, например при геометрическом кодировании угловых и линейных перемещений.

Эффективным средством борьбы с такого рода ошибками (ошибками считывания) является использование специальных кодов, носящих название отраженных (рефлексных). Отличительная особенность этих кодов состоит в том, что соседние кодовые комбинации различаются цифрой только в одном разряде. Среди отраженных кодов наибольшее распространение получил код Грея, так как он легко преобразуется в двоичный код. В табл. 1.7.1 приведен код Грея для кодирования 16 сообщений – чисел от 0 до 15.

Таблица 1.7.1

Недостатком кода Грея и других отраженных кодов является их невесомость, т.е. в них вес единицы не определяется номером разряда. Это затрудняет их кодирование и обработку с помощью ЭВМ, поэтому перед такими операциями отражений код преобразуют в простой двоичный код. Перевод кода Грея в обычный двоичный код осуществляется по следующим правилам: первая единица со стороны старших разрядов остается без изменения, последующие цифры остаются без изменения, если число единиц, им предшествовавших, четно, и инвертируются, если число единиц нечетно.

Двоичный код, для которого общее число комбинаций N = 2 ⁿ, единичный, единично-десятичный, двоично-десятичный и отраженный коды называются обыкновенными (непомехозащищенными) кодами. В них искажение любого разряда кодовой комбинации не может быть обнаружено.

Помехозащищенными, или корректирующими, кодами называются коды, позволяющие обнаружить или исправить ошибки в кодовых ком­бинациях.

Как известно из теории информации, введение избыточности в сообщение является средством повышения его помехоустойчивости. При построении избыточного кода для передачи информации используется лишь часть всех возможных комбинаций (разрешенные комбинации), отличающихся друг от друга более чем в одном разряде. Все остальные комбинации используются и относятся к числу запрещенных. Это значит, что из п разрядов кодовой комбинации для передачи информации используются k разрядов. Следовательно, из общего числа N =2 ⁿ возможных кодовых комбинаций для передачи информации используется только N_p =2 ^k разрешенных комбинаций. Остальные N - N_p = 2 ⁿ -2 ^k комбинаций являются запрещенными.

Так как разрешенные комбинации отличаются более чем в одном разряде, то ошибка в одном разряде (случай­ная замена одного символа другим) приводит к замене разрешенной комбинации запрещенной. Это позволяет об­наружить, а иногда и исправить ошибку. При достаточно большом отличии разрешенных комбинаций друг от друга можно обнаружить двукратную, трехкратную ошибку и т.д.

Для использования кода в качестве корректирующего множество запрещенных кодовых комбинаций разбивается на N_p непересекающихся подмножеств, каждое из которых ставится в соответствие одной из разрешенных комбинаций. Однако, поскольку запрещенная кодовая комбинация, относящаяся к одному из подмножеств, может быть получена в результате искажения любой разрешенной комбинации, исправляются не все ошибки.

Способ разбиения на подмножества зависит от того, какие ошибки должны исправляться данным кодом. Большинство кодов предназначено для исправления взаимно неза­висимых ошибок определенной кратности и пачек (пакетов) ошибок.

Кратностью ошибки называется количество искаженных разрядов в кодовой комбинации. Так как вероятность ошибки обычно невелика, то вероятности многократных незави­симых ошибок пренебрежимо малы. Поэтому наибольшее применение на практике нашли коды, исправляющие одно­кратные (реже двукратные) ошибки.

Для оценки различия между комбинациями данного кода используется минимальное кодовое расстояние d _min, характеризующее способность кода обнаруживать и исправлять определенные ошибки.

Неизбыточный двоичный код имеет минимальное кодовое расстояние d _min = l. Можно показать, что обнаружение всех ошибок кратности до t ₀возможно, если d _minудовлетворяет условию

. (1.7.2)

Для исправления ошибок кратности t _и кодовое расстоя­ние должно удовлетворять условию

. (1.7.3)

Для исправления всех ошибок кратности до и одно­временного обнаружения всех ошибок кратности не более t ₀ кодовое расстояние должно быть

. (1.7.4)

Идея построения кода с заданной корректирующей способностью, следовательно, заключается во внесении в него такой избыточности, которая обеспечила бы расстояние между любыми кодовыми комбинациями данного кода не менее d _min, определяемой приведенными формулами.

Для обнаружения однократных ошибок чаще всего используется код с одной проверкой на четность. Данный код независимо от длины кодовой комбинации содержит всего один проверочный разряд. Символ в этом разряде выбирается таким, чтобы его сумма по модулю 2 со всеми инфор­мационными символами равнялась нулю. Например, простые комбинации 00101 и 10101 при кодировании их кодом с одной проверкой на четность выглядят соответственно 001010 и 101011.

Признаком искажения кодовой комбинации является нечетность числа единиц в принятой комбинации. Данный код позволяет только обнаруживать однократные ошибки и все ошибки нечетной кратности. Данный код имеет минимальное кодовое расстояние d _min = 2 и относительную избыточность .

Другим кодом, обнаруживающим ошибки, является код с простым повторением. В основу построения этого кода положен метод повторения исходной кодовой комбинации. При декодировании производится сравнение первой (информационной) и второй (проверочной) частей кодовой комбинации. При отсутствии совпадения фиксируется наличие ошибки в кодовой комбинации. Помехоустойчивость этого кода выше помехоустойчивости кода с проверкой на четность, так как он позволяет обнаруживать любые ошибки, за исключением одновременных ошибок в " парных" элементах, стоящих на одних и тех же позициях в первой и второй частях комбинаций.

Рассмотренные выше блочные коды позволяют только обнаруживать ошибки. Для исправления ошибок необходимо ввести r проверочных разрядов, число которых определяется требованиями к корректирующей способности кода.

При малой вероятности появления независимых ошибок наиболее часто встает задача исправления одиночного искажения. Идея кода с исправлением однократных ошибок была предложена Хэммингом. Ее сущность состоит в том, что производятся многократные проверки на четность различных вариантов сумм разрядов полученной кодовой комбинации, в результате которых получается двоичный код номера искаженного разряда. Таким образом, если при проверке на четность получен нуль, то это означает, что в данной комбинации нет ошибок.

Создание корректирующего кода, обладающего указанными свойствами, требует решения следующих вопросов:

1) определения необходимого количества проверочных разрядов;

2) формирования правила проверки, позволяющего исправить любую однократную ошибку;

3) установления номеров разрядов, на которых располагаются проверочные символы.

Число проверок должно быть равно числу r проверочных разрядов. Результаты проверок записываются в виде r -разрядного двоичного числа, указывающего номер искаженного разряда. Так как всего разрядов n, то должно удовлетворяться соотношение

. (1.7.5)

Поскольку код, полученный в результате проверок, должен указывать номер искаженного разряда, то правила проверки формулируются следующим образом:

1) все проверки заключаются в вычислении суммы по модулю 2 соответствующих разрядов;

2) при первой проверке выбираются те разряды, двоичные представления номеров позиций которых содержат единицу в первом разряде, т.е. 1, 3, 5, 7, 9-й,... разряды;

3) при второй проверке выбираются те разряды, двоичные представления номеров позиций которых содержат единицу во втором разряде, т.е. 2, 3, 6, 7, 10-й,... разряды;

4) при третьей проверке выбираются 4, 5, 6, 7, 12, 13-й... разряды и т.д.

Место расположения проверочных разрядов в кодовой комбинации в принципе может быть выбрано произвольно, однако практически более удобным является случай, когда каждый проверочный символ участвует только в одной проверке. Обычно проверочные символы размещаются в разрядах, номера которых равны целой степени числа 2, т.е. в разрядах 1, 2, 4, 8 и т.д.

В качестве примера построим код Хэмминга для передачи 16 сообщений – чисел от 0 до 15.

Так как N _P = 16, то необходимое число информационных разрядов k = 4. В соответствии с (1.7.5) необходимое число проверочных разрядов r = 3, а длина кода n = k + r = 7. Позиции 1, 2 и 4 будем использовать для проверочных символов, на остальных (информационных) разместим двоичные представления чисел от 0 до 15. Полученный код Хэмминга приведен в табл. 1.7.2.

Таблица 1.7.2