РАЗДЕЛ 4 2 страница

(4.3.16)

затем средние значения по графам (по фактору B) и по строчкам (по фактору А):

(4.3.17)

(4.3.18)

и среднее значение наблюдений : или

(4.3.19)

Результаты этих расчетов приведены в табл. 4.3.3. В соответствии с этой таблицей ведутся вычисления средних значений . Далее вы­числения ведутся с помощью табл. 4.3.4.

Таблица 4.3.3

Средние значения при двухфакторном анализе

Номер строки (уровня фактора В)	Номер столбца (уровня фактора А)	Среднее по строкам
		…	j	…	k
			…		…
			...		...
…	…	…	…	…	…	…	…
i			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
т			...		…
Среднее по столбцам			…		...

После этого с помощью критерия F проверяют гипотезу об от­сутствии взаимодействия между исследуемыми факторами. Для это­го вычисляют дисперсионное отношение

(4.3.20)

и сопоставляют с табличным значением Р _1-a(таблица «Значения (верхние значения) и (нижние значения) для различных степеней свободы f ₁ и f ₂»), найденным для уровня значимости a и числа степеней свободы и (принимая в таблице f ₁ = f ₃ и f ₂ = f ₄). Если справедливо неравенство F > F _1-a, то ги­потеза о независимости факторов А и B отвергается и дальше нельзя использовать обычные методы дисперсионного анализа. Если же F £ F _1-a, то гипотеза об отсутствии взаимодействия подтверждается.

Таблица 4.3.4

Вычисление дисперсии

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия
Между средними по графам
Между средними по строкам
При взаимодействии между факторами
Внутри партии (остаточная)
Полная (общая) дисперсия

Затем проверяют значимость влияния обоих факторов на иссле­дуемую величину X. Для этого предварительно объединяют оцен­ки дисперсий и в общую оценку

(4.3.21)

Далее вычисляют дисперсионные отношения

(4.3.22)

которые сопоставляют с табличными значениями . Факторы оказывают значимое влияние, если

(4.3.23)

. (4.3.24)

Значение находят по таблице «Значения (верхние значения) и (нижние значения) для различных степеней свободы f ₁ и f ₂» для числа степеней свободы и , а – для числа степеней свободы и .

Если влияние обоих факторов значимо, то мы имеем дело с km нормально распределенными генеральными совокупностями с об­щей дисперсией s² и разными значениями a_{i j}, оценками которых служат выборочная дисперсия и выборочные средние для каждой комбинации факторов .Доверительные интервалы указанных параметров определяют по формулам:

(4.3.25)

(4.3.26)

где .

При одновременном несоблюдении неравенств (4.3.23) и (4.3.24) подтверждается нулевая гипотеза, т.е. факторы А и B не оказы­вают значимого влияния на величину X. Тогда остается только одна генеральная совокупность результатов испытаний, распределенная по нормальному закону с параметрами s² и а. Оценкой генерального среднего а служит общее выборочное среднее по строкам и столбцам X, а оценкой дисперсии – полная (общая) выборочная дисперсия . В этом случае доверительные интервалы для а и s² вычисляют по формулам:

(4.3.27)

(4.3.28)

для степени свободы (т.е. ).

При решении практических задач возможны следующие ситуации.

– Выполняются неравенства . Тогда эффект по столбцам отсутствует (влияние факто­ра А незначительно). Пусть имеется т нормально распределенных совокупностей со средними a_i и одинаковой дисперсией s². Оценками средних а_i являются выборочные средние по строкам , а оценкой дисперсии s² – объединенная выборочная дисперсия

(4.3.29)

Границы доверительных интервалов генеральных характеристик для этого случая находят по формулам:

(4.3.30)

, (4.3.31)

где .

– Выполняются неравенства .Тогда эффект по строкам отсутствует (фактор B влияет незначи­тельно). Имеется k нормально распределенных генеральных сово­купностей с общей дисперсией s² и разными средними а_j. Оценками средних а_j служат выборочные средние по столбцам а оценкой дисперсии s² – объединенная выборочная дисперсия

(4.3.32)

Доверительные интервалы находят по формулам:

(4.3.33)

(4.3.34)

для степеней свободы (т.е. ).

В некоторых случаях при каждой комбинации факторов прово­дят только один опыт (т.е. п = 1). Тогда все приведенные выра­жения упрощаются, а . Такой эксперимент используют тогда, когда влияние дестабилизирующих причин в партии опытов несу­щественно и остаточной дисперсией можно пренебречь.

Трехфакторный дисперсионный анализ аналогичен по структуре двухфакторному. Схема анализа для трех факторов А, B, C приве­дена в табл. 4.3.5, которая составлена аналогично табл. 4.3.4.

Проверку нулевых гипотез о незначимости влияния взаимодей­ствия отдельных пар факторов и их общего взаимодействия производят с помощью дисперсионных отношений F ₄, F ₅, F ₆, и F ₇, в числителе которых дисперсия для соответствующего взаимодействия (, , , ), а в знаменателе – остаточ­ная дисперсия . Вычисленные дисперсионные отношения сравни­вают с табличными значениями, найденными для чисел степеней свободы, указанных в табл. 4.3.5.

При принятии нулевых гипотез о взаимодействии факторов дис­персии , , , объединяют в общую оценку

(4.3.35)

Затем с помощью отношений дисперсий , , к проверяют нулевые гипотезы относительно незначимости влияния каждого фактора. При принятии нулевых гипотез для всех или отдельных факторов возможно дальнейшее объединение дисперсий так, как и при двухфакторном анализе. Доверительные интервалы для диспер­сии и средних значений определяют по формулам, аналогичным приведенным выше.

Таблица 4.3.5

Схема трехфакторного дисперсионного анализа

Между средними фактора А
Между средними фактора B
Между средними фактора C
При взаимодейвии между А и B
При взаимодействии между А и C
При взаимодействии между B и C
При взаимодействии между А, B и C
Внутри партии (остаточная)
Полная дисперсия

4.4. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходной характеристики устройства (процесса) с факторами, которые влияют на эту характеристику.

В качестве модели регрессии используются пря­мая линия или различные математические кривые: участ­ки параболы, гиперболы, экспоненты и т.п. Эксперимен­тальные данные могут быть аппроксимированы с требуемой точностью функциями различного вида, поэтому выбор ви­да функции не может быть формализован. Его осуществля­ет экспериментатор, руководствуясь следующими соображе­ниями: регрессионная модель должна быть простой, удоб­ной для дальнейшего использования и адекватной. Под адекватностью модели понимают ее способность предска­зывать с требуемой точностью значения у в некоторой об­ласти значений х. Вид модели выбирают таким образом, чтобы при обязательном соблюдении адекватности она была наиболее простой и удобной.

На практике во многих случаях приближенно («на глаз») графически проводят линию, описывающую зависи­мость среднего значения у от х, и, исходя из ее вида, вы­бирают регрессионную модель.

Очень часто зависимость y от x можно принять линейной (линейная модель):

(4.4.1)

Для упрощения способов нахождения коэффициентов регрессии важно принять следующие допущения:

1. результаты наблюдений у ₁, у ₂,..., у_i,..., у_п (где п – число наблюдений над величиной y) представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины;

2. дисперсии D (y_i)равны друг другу, или пропорциональны
какой-то известной функции Ф(y);

3. переменные х ₁, x ₂,..., x_k являются независимыми и изме­ряются с пренебрежимо малой погрешностью по сравнению с вели­чиной s[ y_i ].

Методы вычисления коэффициентов регрессии базируются обычно на аппарате матричного исчисления; при этом в наиболее громоздких случаях используются стандартные программы на ЭВМ.

Результаты эксперимента записываются в виде матрицы наблю­давшихся значений:

(4.4.2)

По этим данным можно найти точечные оценки коэффициентов регрессии. Для этого, используя метод наименьших квадратов, со­ставляют n несовместных уравнений:

(4.4.3)

Из этой системы уравнений можно определить (k + 1) коэффициен­тов регрессии. Решение делают в матричной форме. Всю систему уравнений записывают в матричной форме в виде ХA = Y, где:

(4.4.4)

Матрицу при этом определяют из уравнения

(4.4.5)

где – транспонированная матрица A; – обратная матрица произведения С = Х^Т × Х, равная = (Х^Т × Х)^-1. В соответствии с этим уравнением для получения матрицы A (а значит, и всех оце­нок коэффициентов регрессии) необходимо произвести ряд преоб­разований, которые хотя и являются стандартными в матричном исчислении, но в общем виде не наглядны, поэтому ход таких вы­числений представлен ниже на конкретном числовом примере.

Пример 4.4.1. Результаты эксперимента представлены в таблице.

Число факторов k = 2. Количество опытов п = 9.

Необходимо провести регрессионный анализ, определив значения коэф­фициентов регрессии.

Решение. Пусть полином для функции у (модель) линейный:

Составим матрицу X и транспонированную матрицу:

Найдем произведение , складывая почленно произведения элементов строк и столбцов X:

Для вычисления обратной матрицы (Х^ТХ)^–1 найдем сначала определитель матрицы Х^ТХ:

D = 9 (11 × 12 – 6 × 6) – 5 (5 × 12 – 4 × 6) + 4 (5 × 6 – 4 × 11) = 628.

Матрицу (Х^ТХ)^–1 составим из определителя D и дополнений матрицы Х^ТХ:

Далее запишем матрицу Y и найдем произведение Х^ТY:

Далее

Таким образом: a ₀= 10, 65; a ₁= 5, 2; a ₂= 6, 8, и уравнение регрессии по­лучает следующий конкретный вид:

y = 10, 65 + 5, 2 х ₁ + 6, 8 х ₂.

Далее необходимо проихвести проверку адекват­ности полученного уравнения опытным данным. Это необходимо, так как вид зависимости был заранее неизвестен и выбирался наиболее простой.

Адекватность проверяют обычно по критерию Фишера F:

. (4.4.6)

Оценку дисперсий и производят по формулам

, (4.4.7)

где – измеренное значение величины y, – расчетное значение величины y, вычисленное по полу­ченному уравнению регрессии при подстановке в него опытных значений x_j; k – количество коэффициентов в уравнении регрессии; п – количество опытов; п – k = f – число степеней свободы,

(4.4.8)

Критерий F (таблица П. 4. «Значения (верхние значения) и (нижние значения) для различных степеней свободы f ₁ и f ₂») позволяет сравнить общий разброс относительно линии регрессии с разбросом в точке. Зада­вая уровень значимости q (обычно q выбирают равным 0, 05), по таб­лице Фишера для (п – k) степеней свободы находят значение кри­терия F. Если оно больше вычисленного выше, то полученная в ви­де уравнения регрессии модель адекватна результатам эксперимента, если же нет – то требуется выбрать другой, более сложный вид уравнения. Однако здесь необходимо соблюдать условие, чтобы чис­ло опытов было не меньше числа оцениваемых коэффициентов.