Исключение резко отклоняющихся значений

При обработке результатов измерений очень часто возникает не­обходимость обнаружить грубые погрешности и исключить из экспе­риментальных данных соответствующие результаты. Указанная задача также требует проверки гипотез и решается статистическими методами.

Будем считать, что результаты измерений x_i имеют нормальное распределение. Чтобы проверить возможность отбросить сомнительный результат х _с(х _с– наибольший или наименьший из результатов), вы­числим величину

(3.7.1)

где и вычисляют с учетом всех n измерений.

Если все x_i распределены нормально, то распределение величины не будет зависеть от параметров закона распределения x_i, но будет зависеть от числа измерений n. Имеются таблицы (таблица «Процентные точки -распределения») рас­пределения максимальных по модулю отклонений результатов измере­ний от их среднего значения

(3.7.2)

Таким образом, проверяется гипотеза о том, что результат х _сне содержит грубой погрешности. Условием принятия этой гипотезы яв­ляется .

Задаваясь уровнем значимости a и учитывая число измерений n, по таблице «Процентные точки -распределения» находим значение . Сравниваем вычисленное по (3.7.1) значение с .Если < , то гипотеза не противоречит эксперимен­тальным данным. В противном случае гипотеза отклоняется, а соот­ветствующий результат х _сисключается из массива экспериментальных данных. После этого снова вычисляются оценки и , а описанная выше процедура может быть повторена для следующего подозревае­мого результата.

Пример 3.7.3. При условиях, заданных в примере 3.7.1, необходимо про­верить гипотезу, состоящую в том, что наибольший результат измере­ний x _с = 7, 8 не содержит грубой погрешности.

Решение. Вычислим

Принимаем уровень значимости a = 0, 05. Для n = 10 по таблице «Процентные точки -распределения» находим = 2, 414. Так как > , то гипотеза отклоняется, т.е. следует считать, что результат x _с = 7, 8 содержит грубую погрешность, а следовательно, должен быть исключен из экспериментальных данных.

3.8. Построение эмпирических распределений

При исследовании случайных процессов не­обходимо знать не только числовые характеристики случайных ве­личин, но законы их распределения. Поэтому необходимо знать закон распределения случайной величины по статистическим данным, полученным в эксперименте. Пусть в результате экспери­мента получено п значений случайной величины х ₁, х ₂,..., х_п (ста­тистический ряд). Под статистической функцией распределения случайной величины X понимают частоту события X < х в данном статистическом интервале.

(3.8.1)

Статистическая функция распределения любой случайной вели­чины является прерывной сту­пенчатой функцией, скачки которой соответствуют наблюдаемым значениям случайной величины (рис. 3.8.1); они равны частотам появ­ления этих значений , где –число появлений i -ro значения случайной величины в п опытах.

Рис. 3.8.1. Статистическая функция распределения

Кроме статистического интегрального закона распределения вводят понятие статистического дифференциального закона распределения, под которым понимают зависимость плотности рас­пределения наблюдаемых значений случайной величины

(3.8.2)

где – частота появления случайной величины в интерва­ле в п опытах. Для наглядности статистический диффе­ренциальный закон распределения представляют гистограммой (рис. 3.8.2).

Для определения законов распределения случайной величины X проводят эксперимент, получают n значения случайной величины, по ним строят статистические законы распределения. При n ® ¥ эмпирическая функция распределения приближается к истинной функции рас­пределения. В реальности число опытов ограничено. Поэтому не­обходимо определять закон распределения случайной величины по ограниченному числу опытов. При обработке ограниченного по объему статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда тео­ретическую кривую распределения, выражающую лишь существен­ные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Такая задача подбора теоретической кривой распределения называется задачей выравнивания статистических рядов.

Рис. 3.8.2. Гистограмма статистического диф­ференциального зако­на

распределения

Принципиальный вид теоретической кривой вы­бирается либо заранее из соображений, связанных с существом задачи, либо исходя из внешнего вида статистического рас­пределения. Аналитическое выражение выбранной кривой распреде­ления зависит от некоторых параметров; задача выравнивания ста­тистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистичес­ким и теоретическим распределениями наилучшее.

Любая выбранная аналитическая функция f (х), с помощью ко­торой выравнивается статистическое распределение, должна об­ладать основными свойствами плотности распределения:

(3.8.3)

Допустим, что функция f (х), с помощью которой выравнивается данное статисти­ческое распределение, выбрана. В выражение этой функции входит несколько параметров a, b,.... Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f (х)наилучшим образом описывала данный статистичес­кий материал. Наиболее часто для решения этой задачи применяется метод моментов. Согласно ему, параметры а, b,... выбираются так, чтобы несколько важнейших числовых характерис­тик теоретического распределения были равны соответ­ствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая f (х)зависит только от двух параметров а и b, они выбираются так, чтобы математиче­ское ожидание и дисперсия теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками и .Если кривая f (х)зависит от трех параметров, можно по­добрать их так, чтобы совпали первые три момента и т.д.

Пример 3.8.1. Пусть в результате эксперимента над случайной величиной X, которая может принимать значения в интервале (-¥; +¥), получен статистический ряд (500 измерений):

Требуется выровнять это распределение при помощи нормальногозакона:

Решение. Определим статистические моменты случайной величины X – матема­тическое ожидание и дисперсию:

где – представитель i -го разряда; – частота i -го разряда; k – число разрядов.

Выберем параметры и s нормального закона так, чтобы выполнялись условия:

т.е. = 0, 168; s = 1, 448. Тогда получим:

Используя таблицу «Распределение функции », вычислим значения на границах рядов:

x	-4	-3	-2	-1
	0, 004	0, 025	0, 090	0, 199	0, 274	0, 234	0, 124	0, 041	0, 008

На рис. 3.8.3 приведены гистограмма и выравнивающая ее кривая распределения.

Рис. 3.8.3. Гистограмма и выравнивающая кривая

Пример 3.8.2. С целью исследования закона распределения ошибки из­мерения дальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в виде статистического ряда:

Выровнять статистический ряд с помощью закона равномерной плотности.

Решение. Закон равномерной плотности выражается формулой:

Выражения для математического ожидания и дисперсии для закона равномерной плотности имеют вид:

Для того чтобы упростить вычисления, перенесем начало отсчета в точку x ₀= 60 и примем за представителя каждого разряда его середину. Ряд распределения примет вид:

	-35	-25	-15	-5
Pi	0, 052	0, 180	0, 165	0, 095	0, 128	0, 140	0, 160	0, 080

где – среднее для разряда значение ошибки радиодальномера X' при но­вом начале отсчета.

Приближенное значение статистического среднего ошибки X' равно:

Второй статистический момент величины X' равен:

откуда статистическая дисперсия:

Переходя к прежнему началу отсчета, получим новое статистическое среднее:

и ту же статистическую дисперсию

Параметры закона равномерной плот­ности определяются уравнениями:

Решая эти уравнения относительно a и b, имеем:

,

откуда

На рис. 3.8.4 показаны гистограмма и выравнивающий ее закон равномерной плотности .

Рис. 3.8.4. Гистограмма и выравнивающая кривая

На практике часто случается так, что заранее закон теоретический закон распределения не известен. Поэтому рассмотрим вопрос о том, каким выбрать теоретическое распределе­ние по статистическому ряду, когда заранее вид теоретического распределения не известен. В этом случае пользуются системой кривых Пирсона (рис. 3.8.5).

Для применения кривых на рис. 3.8.5 необходимо знать значения b₁ и b₂, которые определяются как

где m₂, m₃, m₄ – второй, третий, четвертый центральные моменты случайной величины соответственно. Однако значения b₁ и b₂ обычно неизвестны. Поэтому для того, чтобы узнать, будут ли над­лежащим образом описаны полученные данные (статистический ряд) одним из показанных на рис. 3.8.5 распределений, необходимо найти выборочные оценки и .

Рис 3.8.5. Система кривых Пирсона

Для определения и необходимо найти статистические моменты , , по следующим формулам:

. (3.8.4)

Определив , и, нанеся эту точку на графики рис. 3.8.5, можно узнать, какое распределение наиболее подходит для выравнивания статистического ряда.

При применении этого метода необходимо следующие ограничения:

1) и являются лишь оценками для b₁ и b₂ и подвержены колебаниям от выборки к выборке, поэтому этим методом пользоваться не рекомендуется при малом числе на­блюдений (например, меньше 200);

2) в общем случае форма распре­деления не определяется однозначно его нормированными показа­телями асимметрии (b₁) и островершинности (b₂).

3.9. Критерии согласия

Допустим, что имеющееся статистическое рас­пределение выровнено с помощью теоретической кривой f (х).Между теоретической кривой и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данное статисти­ческое распределение? Ответ на этот вопрос дают критерии согласия.

Их сущность заключается в следующем. На основании имеющегося статистического материала необходимо про­верить гипотезу Н, состоящую в том, что случайная величина X подчиняется некоторому определенному закону распределения. Пусть закон задан в виде F (х).Чтобы принять или от­бросить гипотезу H, необходимо выбрать некоторую величину W, характеризующую степень расхождения теоретического и статис­тического распределений. Ее можно выбрать различными способами; например, в качестве W взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей P_i от соответствующих частот или сумму тех же квадратов с некоторыми весовыми коэффициентами, или максимальное отклонение статистической функции распределения от теоретической F (х)и т.д.

Пусть величина W выбрана.Онаявляется случайной с законом распределения, зависящим от закона распреде­ления величины X и числа опытов п. Допустим, что этот закон известен. Тогда мера расхождения результатов опыта равна и. Если вычислить вероятность события W ³ u и она ока­жется малой, то гипотезу Н следует отвергнуть как мало правдоподобную; если же эта вероятность значительна, следует принять, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н.