Аналитический метод отделения корней

Для отделения действительных корней непрерывных функций следует помнить следующее:

ü если функция f (x) непрерывна на интервале [ a, b ] и имеет на концах интервала [ a, b ] одинаковые знаки (т.е. f (a)· f (b) > 0), то на этом интервале имеется четное число корней или их нет (рис. 2);

! нельзя забывать, что корнем функции может быть не только точка пересечения графика функции f (x) с осью x, но и его касание с осью x (рис. 3). В этом случае монотонность функции нарушается.

Рис. 2 Рис. 3

ü если функция f (x) непрерывна на интервале [ a, b ] и имеет на концах интервала [ a, b ] разные знаки (т.е. f (a)· f (b) < 0), то на этом интервале имеется нечетное число корней (рис. 4, 5);

Рис. 4 Рис. 5

! Разные знаки функции на концах интервала указывают на наличие корня на интервале [ a, b ], но не гарантируют его единственности.

ü если функция f (x) непрерывна на интервале [ a, b ], монотонна и ее значения на концах интервала имеют разные знаки (f (a)· f (b) < 0), то уравнение на этом интервале имеет единственный корень.

Из этого следует, что для единственности корня на участке [ a, b ] достаточно, чтобы выполнялись условия: f (a)· f (b) < 0, а f' (x) была знакопостоянна для любого x, принадлежащего [ a, b ].

! иногда для единственности корня бывает достаточно и знакопостоянства второй производной.

Таким образом, чтобы отделить все корни уравнения, следует:

§ найти промежуток, где f (a)· f (b) < 0, а f' (x) или f'' (x), или и f' (x), и f'' (x), были знакопостоянны;

§ отыскать нули и точки разрыва f' (x) и проверить, не являются ли они корнями уравнения.

Пример (продолжение). □ Отделить все действительные корни уравнения f (x) = 0 на отрезке [-3, 3]:

f (x) = x ³ - 8 x +2 = 0.

Решение.

Вычислим значения функции f (x) на концах отрезка [-3, 3]:

f (-3) = (-3)³ - 8·(-3) + 2 = -1, f (3) = (3)³ - 8·3 + 2 = 5.

f (-3)∙ f (3) < 0, поэтому на отрезке [-3, 3] имеется или один корень, или нечетное число корней.

f' (x) = 3 x ² - 8 – непрерывна. Для определения интервалов монотонности f (x) найдем значения x, при которых f' (x) = 0. f' (x) = 3 x ² – 8 = 0 при x = ≈ ±1, 633.

Таким образом, можно отделить следующие интервалы монотонности функции f (x): [-3; -1, 633], [-1, 633; 1, 633], [1, 633; 3] и на каждом из этих интервалов отделено по одному корню уравнения.

Для наглядности вычислим значения f (x) и f' (x) на концах этих промежутков (табл. 1). f' (x) = 3 x ² – 8.

Таблица 1