Метод касательных (Ньютона)

Уточнение корней – это доведение их до заданной степени точности. Существует несколько методов уточнения корней: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций. Рассмотрим уточнение корней методом касательных.

В дальнейшем будем считать, что функция f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ], искомый корень х * отделен на этом промежутке и является единственным.

Суть метода касательных заключается в том, что на промежутке [ a, b ] дуга кривой y = f (x) заменяется касательной к этой кривой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения касательной с осью х (рис. 6, 7). Возможны следующие варианты:

Вариант 1. f (a) < 0, f (b) > 0, f' (x) > 0, f'' (x) > 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вниз (рис. 6). Касательная к кривой в точке b пересекает ось х в точке с ₁, которая и принимается за первое приближение корня х ₁. Уравнение касательной к кривой в точке b есть

(1)

Найдем значение x = x ₁, для которого y = 0.

Эта формула носит название формулы метода касательных.

Рис. 6 Рис. 7

Теперь корень (первое приближение) находится внутри отрезка [ a, c ₁]. Если значение корня не устраивает, его можно уточнить, применяя метод касательных к отрезку [ a, c ₁]: построим касательную к кривой в точке с ₁. Она пересекает ось х в точке с ₂. Точка пересечения касательной с осью х, принимается за второе приближение корня − х ₂.

Продолжая этот процесс, находим

(2)

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной точностью ε, т.е. до тех пор, пока корень не будет отделен на отрезке [ x_{n -1} - x_n ], для которого выполняется условие

| x_{n -1} - x_n | < ε.

По формуле (2) корни вычисляются и для случая, когда f (a) > 0, f (b) < 0, f' (x) < 0, f'' (x) < 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вверх (рис. 7).

Вариант 2. f (a) > 0, f (b) < 0, f' (x) < 0, f'' (x) > 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вниз (рис. 8).

(3)

Рис. 8 Рис. 9

Найдем значение x = x ₁, для которого y = 0.

или в общем виде

. (4)

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получено приближенное значение корня с заданной точностью ε.

По формуле (4) корни вычисляются и для случая, когда f (a) < 0, f (b) > 0, f' (x) > 0, f'' (x) < 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вверх (рис. 9).

На основании полученных выражений можно сформулировать правило: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f (b)· f'' (x) > 0, в качестве начального приближения берем точку b = x ₀ и используем формулу (2); во втором случае – f (a)· f'' (x) > 0, в качестве начального приближения берем точку a = x ₀ и используем формулу (4).

Пример (продолжение). □ Уточнить корни уравнения f (x) = x ³ -8 x + 2, отделенные на отрезках [-3, -2], [0, 1], [2, 3] методом касательных с точностью ε = 0, 005.

Решение.

1) Уточним корень уравнения f (x) = x ³ -8 x + 2, отделенный на отрезке [-3, -2].

f (a) = f (-3) = -1, f (b) = f (-2) = 10, f' (x) > 0, f'' (x) < 0 (см. табл. 3 и рис. 9), поэтому в качестве начального приближения возьмем точку a = -3 и используем для вычислений формулы (3) и (4), вспомогательные вычисления выполним в таблице (табл. 4) или реализуем в таблице Excel (рис. 11, 11- а).

Рис.10(режим решения)

Рис. 10-а (режим формул)

.

|-2, 947 – (-3)| = 0, 053;

0, 053 > 0, 005.

|-2, 946 – (-2, 947)| = 0, 001;

0, 001 < 0, 005,

следовательно, x = -2, 946 − первый искомый корень уравнения f (x) = x ³ -8 x + 2, вычисленный методом касательных с точностью ε = 0, 005.●