Задание 6. Вычисление производных функции комплексного переменного

Вычисление производных функции комплексного переменного

1. Цель работы

Научиться вычислять производные от ФКП.

2. Основные теоретические положения

См. раздел 2.2 УМК (с.37-39) и раздел 4.2 Учебного пособия (с.26-29).

Пример.

Вычислить производную функции в точке z ₀ =π i.

○ Для того чтобы функция была аналитической в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части были определены и непрерывны в этой области и удовлетворяли условиям Коши- Римана, т.е.

(воспользовались формулами ;

).

Таким образом, u (x, y) =sin 2 x ch 2 y; v (x, y)= -sh 2 y cos 2 x. Обе функции определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Осталось показать, что они удовлетворяют условиям Коши- Римана. Для этого нужно найти частные производные u (x, y) и v (x, y).

Таким образом , т.е. условия Коши- Римана выполнены. Следовательно, рассматриваемая функция аналитическая по всей числовой плоскости. Производную можно найти, воспользовавшись одной из формул: