Оценка точности проекта геодезического обоснования

Оценка точности заключается в вычислении средних квадратических ошибок следующих элементов проекта геодезической сети:

− СКО положения пункта в наиболее слабом месте сети m₀;

− СКО положения наиболее слабых смежных пунктов m_I-J;

− СКО дирекционного угла m _i-j;

− СКО длины линии m_si-j;

− СКО определения площади геометрической фигуры, образованной пунктами ГО m_p

и сравнение их с нормативными величинами.

СКО элементов вычисляются по заданной нормативно СКО угловых и линейных измерений (m_β и m_L), которые соответствуют запроектированному классу геодезического построения (см. табл. 4.17). В качестве нормативных требований, предъявляемых к геодезическим построениям для целей ГКН, фигурирует СКО положения наиболее слабых смежных пунктов m_I-J [26, 46] и СКО определения длины линии в наиболее слабом месте [28].

Оценка точности проекта геодезической сети выполняется на основании теории метода наименьших квадратов, детально изложенной в работах [11, 24, 37, 38, 45]. Основой для выполнения оценки точности является выполненный проект геодезической сети с определенными графически координатами исходных и определяемых пунктов и запроектированные измерения. Оценка точности выполняется на основании принятия гипотезы о нормальном характере распределения случайных ошибок в векторе измерений, который затем будет получен в результате реализации выполненного проекта.

Оценка точности необходима для анализа выполненного проекта геодезического построения и определения его соответствия целям и задачам государственного кадастра недвижимости, создаваемого в заданной территориальной зоне.

4.3.1. Оценка точности положения пункта
в наиболее слабом месте сети

Для выполнения оценки точности необходимо вычислить матрицу весовых коэффициентов определяемых пунктов по следующей формуле:

(4.26)

где А – матрица параметрических уравнений запроектированных уравнений;

Р – матрица весов запроектированных измерений.

Число строк в матрице А определяется числом всех запроектированных измерений в сети (n), а число столбцов – удвоенным числом определяемых пунктов. Например, для сети, изображенной на рис. 4.24, матрица А будет иметь размеры 4 ´ 2.

Рис. 4.24. Схема запроектированного линейно-углового построения:

– исходные пункты; – определяемый пункт;
b₃, L_2-3 – измеряемые элементы

Строка матрицы А представляет параметрическое уравнение для соответствующего запроектированного измерения. Для углов параметрическое уравнение в индексном виде записывается следующим образом (отметим, что поскольку имеются только запроектированные измерения свободные члены параметрических уравнений равны нулю и в уравнении не приводятся):

(4.27)

где Vβ _K' – поправки в измеренные значения углов, которые на этапе оценки точности проекта остаются неизвестными и которые обозначают строки матрицы параметрических уравнений поправок А;

k' – порядковый номер запроектированного угла в сети;

k, i, j – индексы параметрического уравнения, соответствующие номерам исходных и определяемых пунктов, образующих запроектированный угол;

– поправки к приближенным значениям координат определяемых пунктов (на этапе оценки точности проекта они остаются неизвестными и обозначают соответствующие столбцы матрицы параметрических уравнений А);

– коэффициенты параметрического уравнения поправок, вычисляемые по следующим формулам:

(4.28)

где – соответственно дирекционный угол и длина линии S_kj.

Дирекционный угол и длина линии измеряются по схеме запроектированной сети или вычисляются по графически измеренным координатам. Размерность S_kj следует выбирать таким образом, чтобы коэффициенты параметрических уравнений (4.28) были близки к единице.

Для измеренных расстояний параметрическое уравнение поправок в индексном виде записывается следующим образом:

. (4.29)

Дальнейший этап оценки точности проекта геодезической сети заключается в преобразовании индексного уравнения (4.27) к виду, который соответствует запроектированным угловым измерениям. Для этого необходимо индексный рис. 4.25 последовательно, в соответствии с номерами запроектированных углов, наносить на схему геодезической сети (рис. 4.24).

Рис. 4.25. Индексное обозначение измеренного угла и длины линии

Рис. 4.26. Индексное обозначение запроектированных элементов
в геодезическом построении

Соответственно для первого, второго и третьего запроектированного угла параметрические уравнения будут иметь следующий вид:

Для запроектированной длины линии параметрическое уравнение на основании индексного уравнения (4.29) и рис. 4.26. будет иметь следующий вид:

.

Следующим этапом оценки точности проекта геодезического построения является внесение коэффициентов параметрических уравнений запроектированных измерений в матрицу А исходного уравнения (4.26). При этом отметим, что столбцами матрицы А являются только поправки к приближенным значениям координат определяемых пунктов. Следовательно, коэффициенты параметрических уравнений поправок при исходных пунктах будут равны нулю.

Например, для сети, изображенной на рис. 4.24, матрица А будет иметь следующий вид (табл. 4.18).

Таблица 4.18

Матрица параметрических уравнений поправок

Для вычисления коэффициентов матрицы А целесообразно составить таблицу следующего вида (табл. 4.19).

Таблица 4.19

Таблица для вычисления коэффициентов матрицы А

Используя вычисленные значения коэффициентов, получаем матрицу параметрических уравнений поправок А в численном виде (табл. 4.20).

Таблица 4.20

Матрица параметрических уравнений поправок в численном виде

Число строк и столбцов матрицы весов результатов измерений Р в формуле (4.26) определяется числом всех измерений в запроектированной сети. Так, для рассматриваемой сети (см. рис. 4.24) размер матрицы Р определяется как 4 ´ 4.

Недиагональные элементы матрицы Р (при условии принятия гипотезы о независимости измерений) равны нулю. Диагональные элементы – веса соответствующих измерений. Для запроектированных измеренных углов веса вычисляются по формуле

(4.30)

где m – СКО единицы веса;

m_β – СКО измеренного угла.

На стадии оценки точности проекта, как правило, принимают условие

m = m_β , (4.31)

тогда веса измеренных углов в формуле (4.30) равны 1.

Веса запроектированных измеренных расстояний с учетом условия (4.31) определяются по следующей известной формуле теории математической обработки геодезических измерений:

(4.32)

Следует иметь в виду, что размерность m_L в формуле (4.32) должна быть равна размерности S_kj в формуле (4.28).

В результате вычислений по формуле (4.26) получается матрица весовых коэффициентов. Число строк и столбцов матрицы Q определяется удвоенным числом определяемых пунктов. Например, для рассматриваемой сети матрица весовых коэффициентов имеет следующий вид (табл. 4.21).

Таблица 4.21

Матрица весовых коэффициентов Q в индексном и численном виде

На диагонали матрицы находятся весовые коэффициенты, характеризующие точность соответствующего пункта. Например, для произвольного пункта имеем

(4.33)

Если, например, для рассматриваемого варианта (см. рис. 4.24) запроектирована триангуляция 4-го класса, то для определяемого 3-го пункта получим

Размерность вычисленной СКО положения пункта будет определяться размерностью S_KJ в формулах (4.28) и m_L в формуле (4.32).

В результате сравнения полученных данных с нормативными значениями делают заключение о соответствии запроектированного геодезического построения целям и задачам государственного кадастра недвижимости.

Отметим, что для варианта построения геодезической сети, в которой несколько определяемых пунктов, максимальная сумма диагональных элементов определяет наиболее слабый пункт.

4.3.2. Оценка точности взаимного положения
двух определяемых пунктов

В ряде случаев практического использования геодезического обоснования необходимо рассчитать точность взаимного положения двух определяемых пунктов mi-j. Для вывода расчетной формулы запишем приращение координат по оси Х как функцию уравненных координат

F = DC_I-J = Cj – Ci. (4.34)

Для нахождения СКО функции (4.34) применим известную формулу для оценки точности функции двух коррелированных аргументов [11]

. (4.35)

Применяя к функции (4.34) формулу (4.35), получаем

(4.36)

По определению коэффициента корреляции имеем

(4.37)

где Kx_Ix_J– корреляционный момент между ошибками двух аргументов, который может быть вычислен через СКО веса m и соответствующий недиагональный элемент матрицы весовых коэффициентов Q по формуле

(4.38)

Подставляя выражение (4.38) в (4.37) и, соответственно, в (4.35), а также выражая СКО координат через соответствующие диагональные элементы матрицы Q, получаем следующую формулу:

(4.39)

или в окончательном виде

(4.40)

По аналогии получим формулу для вычисления СКО взаимного положения пунктов по оси ординат

(4.41)

Общая ошибка взаимного положения двух определяемых пунктов i и j может быть вычислена

(4.42)

Для рассматриваемого варианта вычисления по формулам (4.42) и (4.33) приведут к идентичным результатам, поскольку в сети только один определяемый пункт. Если, например, в сети два определяемых пункта 3 и 4 и матрица весовых коэффициентов представлена объектом следующего типа (табл. 4.22), то СКО взаимного положения двух определяемых пунктов 3 и 4 будет равна

Таблица 4.22

Матрица весовых коэффициентов для сети,
состоящей из двух определяемых пунктов