Достаточное условие экстремума

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а точка x0 из этого отрезка является критической. Тогда:

1) если f/(x) < 0 на (a; x0) и f/(x) > 0 на (x0; b), то точка x0–точка минимума функции f(x);

2) если f/(x) > 0 на (a; x0) и f/(x) < 0 на (x0; b), то точка x0–точка максимума функции f(x).

Уровень 2. Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f/(x) < 0 на (a; x0) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) убывает на (a; x0], и для любого x принадлежащего(a; x0) выполняется условие f(x)> f(x0).

Так как f/(x) > 0 на (x0; b) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) возрастает на (x0; b], и для любого x принадлежащего (x0; b) выполняется условие f(x)> f(x0).

В результате получается, что при любом x не равном x0 из (a; b) выполняется неравенство f(x)> f(x0), то есть точка x0–точка минимума f(x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. (см рисунок ПРИМЕР)

Достаточное условие экстремума (2 вариант)

Достаточное условие экстремума функции

Если в некоторой точке производная обращается в нуль и, кроме того, проходя через нее, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума.

Доказательство. Рассмотрим заданную функцию у = f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х. Пусть f(x0) = 0. Если перед точкой х0 имеем f¹(x) > 0 то до момента остановки скорость точки Р была положительна и точка Р двигалась по оси у вверх. Так как по условию производная, проходя через точку х0, меняет свой знак, то после х0 имеем f¹(x) < 0 т. е. после момента остановки скорость точки Р становится отрицательной и точка Р движется вниз. Тогда в момент времени х0 точка Р достигает самого высокого положения на оси у и функция f принимает максимальное значение.

Вернемся еще раз к различию между необходимыми и достаточными условиями экстремума функции. Пусть производная функции обратилась в нуль в некоторой точке х0 (необходимое условие). С механической точки зрения это означает, что материальная точка Р, закон прямолинейного движения которой задается исходной функцией, в момент времени х0 остановилась. Ясно, что после мгновенной остановки точка Р могла начать двигаться в обратном направлении, а могла продолжать двигаться в том же направлении, что и раньше. В первом случае скорость точки Р поменяла свой знак, а во втором нет. Соответственно в первом случае положение точки Р на числовой оси достигло экстремального значения, а во втором нет.

Мы выделили необходимое условие экстремума (обращение производной в нуль) потому, что оно легко проверяется. Точки экстремума надо искать, прежде всего, среди корней производной. Этих корней, как правило, мало (или вообще нет), поэтому выгодно сначала ограничить число точек, «подозрительных на экстремум», а потом уже проверять для них выполнение дополнительных, достаточных условий. Следует, кроме того, сказать, что необходимое условие экстремума легко обобщается на более широкий класс функций, чем тот, который мы изучаем в школе, в то время как достаточные условия обобщаются не так просто.