Необходимые условия экстремума

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a, b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [, ] промежутка [a, b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x₀-, x₀+), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) < f(x₀)(или f(x)> f(x₀))

Иными словами, точка x₀ доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x₀) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x₀.

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x₀) выполняется строгое неравенство

f(x)< f(x₀)(или f(x)> f(x₀)

то говорят, что функция имеет в точке x₀ собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x₀ и x₁, то, применяя к промежутку [x₀, x₁] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x₂ между x₀ и x₁ и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х₀. Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a, b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.Из рисунка 1 видно, что в точках х₁ и х₃ локальные максимумы, а в точках х₂ и х₄ – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a, b) существует конечная производная. Если в точке х₀ функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х₀-, х₀+), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое