Определение.

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произв. точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , т.е.

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Теорема существования определённого интеграла.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство . Требование непрерывности f (x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [ a, b ] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f (x) неограничена на [ a, b ], то она неограничена на каком-либо [ x_i -1, x_i ], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).