Выводить формулы, использующие понятие определенного интеграла для его геометрических и механических приложений.

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f (x) непрерывна и положительна на [ a, b ], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (см. рис. 5.).

Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f (x), заданная на промежутке [ a, b ], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z ₁, z ₂,..., z_N. Составим для f (x) интегральную сумму σ.

Пусть из точек ξ ₀, ξ ₁,..., ξ _{n -1}, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f (z_i) | (i = 1, 2,..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ (x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ _k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ _k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.