Доказывать теорему о среднем.

Теорема о среднем.

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка , такая что .
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [ a, b ] и высотой f (c) (на рисунке выделен цветом).

20.Доказывать теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу и выводить формулу Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (x) произвольная непрерывная на отрезке [ a, b ] функция и пусть F (x) какая-нибудь её первообразная. Разобьём отрезок [ a, b ] на n частей и составим разность

F (b) - F (a)

значений первообразной на концах интервала [ a, b ]. Эта разность равна сумме разностей, составленных для каждого отрезка разбиения,

По теореме Лагранжа о " конечном приращении" имеем

,

поэтому

.

Это равенство является точным при любом разбиении отрезка [ a, b ], но оно справедливо лишь при определённом выборе на каждом отрезке разбиения точек

c ₁ < c ₂ < … < c_n,

которые предписывается теоремой Лагранжа. Если размеры всех отрезков разбиения

[ а = х ₀, x ₁], [ х ₁, x ₂], …, [ х _{n - 1}, b ]

будут становиться всё меньше и меньше, то сумма

будет являться суммой возрастающего числа стремящихся к нулю слагаемых. Если равенство

верно всегда, то оно верно и в пределе:

.

Полученное равенство замечательно тем, что оно справедливо не только при каком-то частном выборе точек

c ₁ < c ₂ < … < c_n

по одной на отрезках деления

[ а = х ₀, x ₁], [ х ₁, x ₂], …, [ х _{n - 1}, b ]

как это предписывается теоремой Лагранжа, но при всяком выборе точек ξ ₁ < ξ ₂, < … < ξ _n по одной на отрезках деления [ а = х ₀, x ₁], [ х ₁, x ₂], …, [ х_{n - 1}, b ]:

.

Последнее соотношение является замечательным правилом суммирования бесконечно малых, открытых Лейбницем и Ньютоном: для отыскания предела суммы бесконечно малых

,

когда все отрезки, на которые разбит отрезок [ a, b ], безгранично умаляются, необходимо выполнить два действия:

· 1) постараться отыскать конечным образом какую-нибудь первообразную F (х) для функции f (x);

· 2) найдя первообразную F(х), составить разность F (b) - F (a) её значений на концах основного отрезка [ a, b ]. Эта разность и есть искомый предел.

Сопоставляя это правило с определением определённого интеграла, получим формулу Ньютона—Лейбница

.

При применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.