Теоретические сведения. Если функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n +1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

,

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

, a < ξ < x.

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

, − 1 < x ≤ 1.

Ряд Фурье.

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2 π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [− π, π ].

1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2 π абсолютно интегрируема в интервале [− π, π ]. При этом является конечным, так называемый интеграл Дирихле: ;

2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции.

Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде ,

где коэффициенты Фурье a ₀, a_n и b_n определяются формулами

, , .

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2 π не содержит синусов и имеет вид

,

где коэффициенты Фурье определяются выражениями , .

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2 π, содержит только синусы и имеет вид ,

где коэффициент равен .

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1) Используя разложение в ряд Маклорена, вычислите с точностью до .

2) Разложить в ряд Фурье .