Теоретические сведения. Определение. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

Определение. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

,

где называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Определение. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

1. Гармонический ряд является расходящимся.

2. Сумма геометрической прогрессии вида со знаменателем q является сходящимся числовым рядом, если , и расходящимся рядом при .

3. Обобщенно гармонический ряд сходится при s > 1 и расходится при s ≤ 1.

Определение. Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть, .

Определение. Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где .

Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Для знакопеременного ряда существует понятие абсолютной и условной сходимости.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд .

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится, а ряд сходится.

Свойства сходящихся числовых рядов.

1. Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

2. Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где A – произвольная постоянная.

3. Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.