Теоретические сведения. Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Общий вид такого уравнения

,

где Х(х), Х₁(х) — функции только от х, У(у), У₁ (у) — функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение Х₁(х)У(у) 0, получим уравнение с разделенными переменными

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Замечание. Если произведение Х₁ (х) У(у) =0 при х=а и у=b, то эти функции х=а и у=b являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.

Однородное дифференциальное уравнение

Однородное дифференциальное уравнение можно записать в виде .

Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной стандартной замены .

Подставляем и в исходное уравнение , заметим, что теперь уравнение имеет вид с разделяющимися переменными.

После нахождения , ответ подаем в виде .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Общий вид такого уравнения

, (1)

где f(x) и q(x) – заданные функции от х. Это уравнение является линейным относительно искомой функции и ее производной.

Есди q(x) =0, то линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид и решается методом разделения переменных.

Еслн f(x) =0, то уравнение (1) принимает вид у'=q(x) и решается методом разделения переменных.

Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них.

1. Этот прием решения основан на применении следующей теоремы: если у=φ (х) - некоторое решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задаются формулой

,

где Се^F(x) — общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение,

2. Этот прием решения основан на простом замечании, что любую величину t (переменную или постоянную) можно представить в виде произведения двух множителей: t = uv, причем один из них можно выбрать произвольно (лишь бы он был отличен от нуля).

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде у = uv, где u и v — функции от х. Подставляем в уравнение у = uv и у' = u`v+v`u.

Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v'—v f(x) = 0 при С = 0.

Подставляя значение v во второе уравнение и решая его, найдем u, как общий интеграл этого уравнения.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x, y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение .

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой u (x, y)= C,

где C − произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение P (x, y) dx + Q (x, y) dy =0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y.