Теоретические сведения. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Общий вид такого уравнения ,

где у=f(х)—искомая неизвестная функция, у'=f'(х) и у" =f”(х)—ее производные по х первого и второго порядков, а F — заданная функция переменных х, у, у', y".

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y=φ (x, C₁, C₂) от х и двух произвольных постоянных С₁ и С₂, обращающая это уравнение в тождество по х.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х, у, С₁ С₂) =0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения F(х, у, у', у")=0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С₁ и С₂: у=φ (х, С₁⁰, С₂⁰), где С₁⁰ и С₂⁰ — фиксированные числа.

Частным интегралом этого уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С₁ и С₂: Ф(х, у, С₁⁰, С₂⁰)=0, где С₁⁰ и С₂⁰ — фиксированные числа.

Общее решение дифференциального уравнения F(х, y, у', у")=0 можно рассматривать как семейство интегральных кривых данного уравнения, зависящее от двух параметров С₁ и С₂. Частному решению, полученному из общего, соответствует одна кривая этого семейства.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям у(хо)=у₀, у'(хо)=у'₀. Постоянные С₁ и С₂ определяются из системы уравнений

Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить интегральную кривую, проходящую через данную точку (х₀, у₀) в заданном направлении у'(x₀).

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

.

где р и q — некоторые числа.

Если f(х)= 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид

(2)

Справедлива теорема: если у₁ и у₂ – частные решения уравнения (2), причем у₁/у₂ const то функция Y=С₁у₁+С₂y₂, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Решением данного дифференциального уравнения (2) должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции у и ее производных у' и у", взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма обратилась в нуль, надо, чтобы y, у' и у" были подобны между собой.

Такой функцией является функция у = е^kx, где k – постоянная. Требуется подобрать k так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению (2).

Так как у' = е^kx (kх)' = k е^kx, а y" =k е^kx (kx:)'=k² е^kx, то, подставляя эти значения у, у' и у" в левую часть уравнения (2), получим

.

Сокращая на множитель е^kx, не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение

(3)

Это уравнение определяет те значения А, при которых функция у = е^kx является решением дифференциального уравнения (2).

При решении характеристического уравнения (3) возможны три случая:

№	Корни уравнения	Частные решения	Общее решение
	Действительные различные (k1 k2)	Y1=ek1x Y2=ek2x	Y=C1ek1x+C2 ek2x
	Действительные равные (k1=k2)	Y1=ek1x Y2=xek1x	Y=ek1x(C1+C2x)
	Комплексно-сопряженные ()	Y1=eaxcos , Y2=eaxsin	Y=eax(cos +C2 sin )

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Решить задачу Коши:

2. Решить уравнение:

.