Теоретические сведения. Определение. Функция f(x) называется первообразной для функции f(x), если f'(x)=f(x), или df(x)=f(x)dx

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x), или dF(x)=f(x)dx. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных: , где С – постоянная.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функций. Правила интегрирования:

1) 2) 3)

4) 5)

Таблица интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы для:

Интегрирование тригонометрических функций.

Интегрирование выражений вида .

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование рациональных функций.

Известно, что многочлен n-й степени в общем случае имеет n комплексно-сопряжённых корней (некоторые корни могут совпадать). Соответственно, любой многочлен может быть разложен по формуле

, где x₁, x₂, … x_n – корни многочлена.

Следовательно, дробь, знаменателем которой является многочлен, может быть разложена следующим образом:

.

Эта операция разложения дроби в некотором смысле обратна операции приведения дробей общему знаменателю, с той разницей, что здесь ставится обратная задача - не привести дроби к общему знаменателю, а разложить дробь, имеющую общий знаменатель, на несколько дробей, имеющих разные знаменатели.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .