Основные свойства преобразования Лапласа.

Преобразова́ ние Лапла́ са — интегральное преобразование, связывающее функцию \ F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией \ f(x) вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Свойство линейности. Для любых постоянных чисел α и β

L{α x(t)+β y(t)}=α L{x(t)}+β L{y(t)}

Преобразование суммы равно сумме преобразований. Постоянный множитель можно вынести за знак преобразования.

2) Дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях. Если X(p)=L{x(t)} и начальные условия нулевые, т.е.

x(0)= x(1)(0) = x(2)(0) =…= x(n–1)(0)=0, то:

Дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях соответствует умножению изображения на p.

3) Интегрирование оригинала.

Если X(p)=L{x(t)} и x(t)=0 при t< 0, то

Интегрирование оригинала соответствует делению изображения на переменную p.

4) Теорема запаздывания. Если X(p)=L{x(t)}, то для любого положительного числа τ

Функция x(t– τ) представляет собой функцию x(t) сдвинутую во времени вправо на величину τ или другими словами запаздывающую на величину τ (время запаздывания).

5) Теорема о начальном значении оригинала.

Значение оригинала x(t) в момент начала отсчета врмемни t=0 определяется по его изображению X(p) по формуле:

6) Теорема о конечном значении оригинала.

Предел к которому стремится оригинал x(t) при t→ ∞ определяется по его изображению X(p) по формуле: