Метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Специальный вид правой части.

Если правая часть f(x) дифференциального уравнения представляет собой функцию вида

где Pn(x), Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно, то для построения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.

В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения. Так, например, для функции

частное решение имеет вид

где An(x) − многочлен той же степени n, как и Pn(x). Коэффициенты многочлена An(x) определяются прямой подстановкой пробного решения y1(x) в неоднородное дифференциальное уравнение.

В так называемом резонансном случае, когда число α в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель xs, где s равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают s = 0.

Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде

Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как

где An(x), Bn(x) − многочлены степени n (при n ≥ m), а степень s в дополнительном множителе xs равна кратности комплексного корня α ± β i в резонансном случае (т.е. при совпадении чисел α и β с комплексным корнем характеристического уравнения), и, соответственно, s = 0 в нерезонансном случае.

Решить дифференциальное уравнение yIV − y = 2cos(x).

Решение.

Сначала рассмотрим однородное уравнение

и построим его общее решение. Характеристическое уравнение

имеет следующие корни:

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

где C1,..., C4 − произвольные числа.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Здесь мы имеем резонансный случай, поскольку выражение в правой части соответствует по структуре комплексному корню α ± iβ = ±i. Поэтому будем искать частное решение в виде

Производные этой функции равны:

Подставляем найденные производные в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B:

Итак, частное решение выражается в виде

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения записывается как