Преобразование Лапласа. Функции оригиналы. Функции изображения.

Преобразова́ ние Лапла́ са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f(t) действительной переменной t, удовлетворяющую условиям:
1. f (t) = 0 при t < 0;
2. Существуют такие постоянные M > 0 и σ 0 ≥ 0, что | f (t) | ≤ M·eσ 0 t;
3. На любом отрезке [ a, b] (0 ≤ a < b < ∞) функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

Изображением функции-оригинала f (t) (или преобразованием Лапласа функции f (t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством
.