Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Их решение в случае кратных корней характеристического уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
, где – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .